Bài tập 4, § 2

Soit $D = [0,1]\cap (\mathbf{R}-\mathbf{Q})$.

a) Cho $\varphi$ là một ánh xạ từ D vào $[0,1]$ và cho X là phần bù trong $[0,1]^2$ của tập hợp được tạo thành bởi các $(x, \varphi (x))$ với $x\in D$. Chứng minh rằng X là liên thông.

b) Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ song ánh Φ từ D lên tập hợp các đường đi có gốc $(0,0)$ và điểm cuối $(1,1)$ trong $[0,1]^2$. Với mỗi $x\in D$, cho $\psi (x)$ là một điểm có hoành độ x trên đường đi $\Phi (x)$. Khi đó cho Y là phần bù trong $[0,1]^2$ của tập hợp được tạo thành bởi các $\psi (x)$ với $x\in D$. Chứng minh rằng không gian Y là liên thông, địa phương liên thông nhưng không liên thông bằng cung.