Exercice 4, § 2

Soit $D = [0,1]\cap (\mathbf{R}-\mathbf{Q})$.

a) Soit $\varphi$ une application de D dans $[0,1]$ et soit X le complémentaire dans $[0,1]^2$ de l’ensemble formé des $(x, \varphi (x))$ pour $x\in D$. Démontrer que X est connexe.

b) Démontrer qu’il existe une application bijective Φ de D sur l’ensemble des chemins d’origine $(0,0)$ et de terme $(1,1)$ dans $[0,1]^2$. Pour tout $x\in D$, soit $\psi (x)$ un point d’abscisse $x$ sur le chemin $\Phi (x)$. Soit alors Y le complémentaire dans $[0,1]^2$ de l’ensemble formé des $\psi (x)$ pour $x\in D$. Démontrer que l’espace Y est connexe, localement connexe mais qu’il n’est pas connexe par arcs.