Bài tập 5, § 2

Cho $r$ là một phần tử của $\mathbf{N}\cup \{\infty , \omega \}$, cho $n$ và $d$ là các số nguyên, và cho X là một đa tạp con lớp $C^r$ của $\mathbf{R}^n$, đóng, thuần túy chiều $d$.[^1]

a) Chứng minh rằng tồn tại một lân cận U của X trong $\mathbf{R}^n$ và một đẳng cấu lớp $C^r$ từ $X\times ]-1; 1[^{n-d}$ lên U.

b) Mọi đường đi trong X đều đồng luân nghiêm ngặt với một đường đi lớp $C^r$. c) Nếu hai đường đi lớp $C^r$ trong X là đồng luân, thì chúng được nối với nhau bởi một đồng luân lớp $C^r$.

[^1]: Theo các định lý của Whitney và Grauert, mọi đa tạp lớp $C^r$, có số chiều hữu hạn và có tôpô thuộc kiểu đếm được, đều đẳng cấu với một đa tạp con đóng của một không gian số.