Exercice 5, § 2

Soit $r$ un élément de $\mathbf{N}\cup \{\infty , \omega \}$, soient $n$ et $d$ des entiers, soit X une sous-variété de classe $C^r$ de $\mathbf{R}^n$, fermée, purement de dimension $d$.[^1]

a) Démontrer qu’il existe un voisinage U de X dans $\mathbf{R}^n$ et un isomorphisme de classe $C^r$ de $X\times ]-1; 1[^{n-d}$ sur U.

b) Tout chemin dans X est strictement homotope à un chemin de classe $C^r$. c) Si deux chemins de classe $C^r$ dans X sont homotopes, ils sont reliés par une homotopie de classe $C^r$.

[^1]: D’après des théorèmes de Whitney et Grauert, toute variété de classe $C^r$, de dimension finie et dont la topologie est de type dénombrable est isomorphe à une sous-variété fermée d’un espace numérique.