Bài tập 7, § 2

a) Cho R là một tập hợp. Nếu S là một tập con của R, ta ký hiệu bởi $j_S$ ánh xạ từ $\mathbf{I}^S$ vào $\mathbf{I}^R$ biến một hàm $f: S\rightarrow \mathbf{I}$ thành hàm duy nhất từ R vào $\mathbf{I}$ mà hạn chế lên S bằng $f$ và bằng không tại mọi điểm của R-S.

Chứng minh rằng $j_S$ là một đồng phôi từ $\mathbf{I}^S$ lên không gian con của $\mathbf{I}^R$ tạo bởi các hàm bằng không ở ngoài S.

b) Gọi X là tập hợp các ánh xạ từ R vào $\mathbf{I}$ bằng không ở ngoài một tập con đếm được của R. Ta ký hiệu bởi Y giới hạn quy nạp của họ các không gian $(\mathbf{I}^S)$, khi S chạy qua tập hợp các tập con đếm được của R, và trang bị cho nó tôpô giới hạn quy nạp của các tôpô tích.

Các ánh xạ chính tắc từ $\mathbf{I}^S$ vào $\mathbf{I}^{\mathbf{R}}$ cảm sinh một song ánh liên tục $j$ từ Y lên X. Song ánh này không phải là một đồng phôi nếu R không đếm được.

c) Chứng minh rằng, với mọi đường $c:\mathbf{I}\rightarrow X$, tồn tại một tập con đếm được S của R sao cho $c(t)(s) = 0$ với mọi $t\in \mathbf{I}$ và mọi $s\in R-S$. d) Suy ra rằng ánh xạ $j^{-1}$ liên tục theo cung.