Exercice 7, § 2

a) Soit R un ensemble. Si S est une partie de R, on note $j_S$ l’application de $\mathbf{I}^S$ dans $\mathbf{I}^R$ qui applique une fonction $f: S\rightarrow \mathbf{I}$ sur l’unique fonction de R dans $\mathbf{I}$ dont la restriction à S égale $f$ et qui est nulle en tout point de R-S.

Démontrer que $j_S$ est un homéomorphisme de $\mathbf{I}^S$ sur le sous-espace de $\mathbf{I}^R$ formé des fonctions nulles hors de S.

b) Soit X l’ensemble des applications de R dans $\mathbf{I}$ qui sont nulles en dehors d’un sous-ensemble dénombrable de R. On note Y la limite inductive de la famille d’espaces $(\mathbf{I}^S)$, où S parcourt l’ensemble des parties dénombrables de R, et on le munit de la topologie limite inductive des topologies produits.

Les applications canoniques de $\mathbf{I}^S$ dans $\mathbf{I}^{\mathbf{R}}$ induisent une bijection continue $j$ de Y dans X. Cette bijection n’est pas un homéomorphisme si R n’est pas dénombrable.

c) Démontrer que, pour tout chemin $c:\mathbf{I}\rightarrow X$, il existe un sous-ensemble dénombrable S de R tel que $c(t)(s) = 0$ pour tout $t\in \mathbf{I}$ et tout $s\in R-S$. d) En déduire que l’application $j^{-1}$ est continue par arcs.