Bài tập 8, § 2

Cho X là một không gian tôpô compact liên thông có lực lượng $\geqslant 2$. Giả sử rằng với mọi cặp $(x, y)$ gồm các điểm phân biệt của X, không gian X $\{x, y\}$ là không liên thông.

a) Chứng minh rằng với mọi $x\in X$, không gian X $-\{x\}$ là liên thông.

b) Cho $a, b$ là các điểm phân biệt của X và cho $U,V$ là các tập con mở và đóng không rỗng của X sao cho X$-\{a, b\}= U\cup V$. Chứng minh rằng ta có $\overline{U}= U\cup \{a, b\},\overline{V}= V\cup \{a, b\}$ và các tập này là liên thông.

c) Giả sử rằng X có một tập con đếm được trù mật khắp nơi. Khi đó hãy chứng minh rằng X đồng phôi với đường tròn $\mathbf{S}_1$. (Hãy chứng minh rằng tồn tại một đồng phôi của $\mathbf{I}$ lên $\overline{U}$ ánh xạ 0 tới $a$ và 1 tới $b.$)