Exercice 8, § 2

Soit X un espace topologique connexe compact de cardinal $\geqslant 2$. On suppose que pour tout couple $(x, y)$ de points distincts de X, l’espace X $\{x, y\}$ n’est pas connexe.

a) Démontrer que pour tout $x\in X$, l’espace X $-\{x\}$ est connexe.

b) Soient $a, b$ des points distincts de X et soient $U,V$ des parties ouvertes et fermées, non vides, de X telles que X$-\{a, b\}= U\cup V$. Démontrer que l’on a $\overline{U}= U\cup \{a, b\},\overline{V}= V\cup \{a, b\}$ et que ces ensembles sont connexes.

c) On suppose que X possède une partie dénombrable partout dense. Démontrer alors que X est homéomorphe au cercle $\mathbf{S}_1$. (Prouver qu’il existe un homéomorphisme de $\mathbf{I}$ sur $\overline{U}$ qui applique 0 sur $a$ et 1 sur $b.$)