Bài tập 9, § 2

Cho A là một tập hợp được sắp thứ tự tốt không đếm được sao cho mọi đoạn $[u, v]$ đều đếm được.

(a) Chứng minh rằng tập hợp $L = A\times [0,1[$, được sắp thứ tự toàn phần bởi cấp từ điển và được trang bị tôpô $\mathscr{T}_0(L)$ (TG, I, p. 91, exerc. 5), là liên thông (TG, IV, p. 48, exerc. 7). Không gian L được gọi là Alexandroff phải. (b) Chứng minh rằng, với mọi điểm $x\in L$, không gian tôpô L$-\{x\}$ không liên thông.

(c) Gọi $\overline{L}$ là tập hợp có thứ tự thu được bằng cách thêm vào L các điểm $-\infty$ và $+\infty$ sao cho $-\infty < x <+\infty$ với mọi $x\in L$. Trang bị cho nó tôpô $\mathscr{T}_0(L)$; nó được gọi là Alexandroff phải hoàn chỉnh. Chứng minh rằng $\overline{L}$ là compact và liên thông.

(d) Chứng minh rằng không tồn tại bất kỳ phép đồng phôi nào từ $[0,1]$ lên $\overline{L}$ biến 0 thành $-\infty$ và 1 thành $+\infty$.