Exercice 9, § 2

Soit A un ensemble bien ordonné non dénombrable dont tout segment $[u, v]$ est dénombrable.

a) Démontrer que l’ensemble $L = A\times [0,1[$, totalement ordonné par l’ordre lexicographique et muni de la topologie $\mathscr{T}_0(L)$ (TG, I, p. 91, exerc. 5), est connexe (TG, IV, p. 48, exerc. 7). L’espace L est appelé droite d’Alexandroff. b) Démontrer que, pour tout point $x\in L$, l’espace topologique L$-\{x\}$ n’est pas connexe.

c) Soit $\overline{L}$ l’ensemble ordonné obtenu en adjoignant à L des points $-\infty$ et $+\infty$ tels que $-\infty < x <+\infty$ pour tout $x\in L$. Munissons-le de la topologie $\mathscr{T}_0(L)$; on l’appelle la droite d’Alexandroff achevée. Démontrer que $\overline{L}$ est compact et connexe.

d) Démontrer qu’il n’existe pas d’homéomorphisme de $[0,1]$ sur $\overline{L}$ qui applique 0 sur $-\infty$ et 1 sur $+\infty$.