Bài tập 2, § 3

Cho $(X, a)$ và $(Y, b)$ là các không gian tôpô có điểm gốc; giả sử rằng không gian con $\{a\}$ của X là đóng và cặp $(X,\{a\})$ có tính chất mở rộng đồng luân.

a) Cho $f: X\rightarrow Y$ là một ánh xạ liên tục và cho $c$ là một đường đi trong Y. Chứng minh rằng tồn tại một đồng luân $\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ sao cho $\sigma (a, t) =c(t)$ với mọi $t\in \mathbf{I}$ và $\sigma (x,0) =f(x)$ với mọi $x\in X$.

b) Chứng minh rằng tồn tại một tác động phải duy nhất của nhóm $\pi_1(Y, b)$ trên tập hợp $[(X, a); (Y, b)]$ sao cho $[f]\cdot [c]$ là lớp của ánh xạ $x\mapsto \sigma (x,1)$, với mọi ánh xạ liên tục có điểm gốc $f: (X, a)\rightarrow (Y, b)$, mọi vòng trong Y tại $b$, và mọi đồng luân $\sigma$ như trên.

c) Giả sử rằng Y liên thông bằng cung. Chứng minh rằng mọi ánh xạ liên tục từ X vào Y đều đồng luân với một ánh xạ liên tục có điểm gốc từ $(X, a)$ vào $(Y, b)$.

d) Cho $f$ và $g$ là các ánh xạ liên tục có điểm gốc từ $(X, a)$ vào $(Y, b)$. Điều kiện cần và đủ để $f$ và $g$ là ánh xạ đầu và ánh xạ cuối của một đồng luân có điểm gốc là tồn tại một lớp vòng $\gamma \in \pi_1(Y, b)$ sao cho $[f]\cdot \gamma = [g]$.