Exercice 2, § 3

Soient $(X, a)$ et $(Y, b)$ des espaces topologiques pointés ; on suppose que le sous-espace $\{a\}$ de X est fermé et que le couple $(X,\{a\})$ possède la propriété d’extension des homotopies.

a) Soit $f: X\rightarrow Y$ une application continue et soit $c$ un chemin dans Y. Démontrer qu’il existe une homotopie $\sigma : X\times \mathbf{I}\rightarrow Y$ telle que $\sigma (a, t) =c(t)$ pour tout $t\in \mathbf{I}$ et $\sigma (x,0) =f(x)$ pour tout $x\in X$.

b) Démontrer qu’il existe une unique action à droite du groupe $\pi_1(Y, b)$ sur l’ensemble $[(X, a); (Y, b)]$ telle que $[f]\cdot [c]$ soit la classe de l’application $x\mapsto \sigma (x,1)$, pour toute application continue pointée $f: (X, a)\rightarrow (Y, b)$, tout lacet $c$ dans Y en $b$, et toute homotopie $\sigma$ comme ci-dessus.

c) On suppose que Y est connexe par arcs. Démontrer que toute application continue de X dans Y est homotope à une application continue pointée de $(X, a)$ dans $(Y, b)$.

d) Soient $f$ et $g$ des applications continues pointées de $(X, a)$ dans $(Y, b)$. Pour que $f$ et $g$ soient l’origine et le terme d’une homotopie pointée, il faut et il suffit qu’il existe une classe de lacet $\gamma \in \pi_1(Y, b)$ telle que $[f]\cdot \gamma = [g]$.