Bài tập 9, § 5

Ta xét lại các ký hiệu của bài tập 6. Với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}^*$, cho $c_n:\mathbf{I}\rightarrow C_n$ là đường cong kín tại gốc được xác định bởi $t\mapsto \frac{1}{2n}(1-$ cos(2$\pi t$), sin(2$\pi t$)).

(a) Với mọi dãy $\alpha \in \{0,1\}^{\mathbf{N}^*}$, cho $c_{\alpha}$ là ánh xạ được xác định bởi $c_{\alpha}(0) = 0$ bởi $c_{\alpha}(t) =\alpha_nc_n(2^nt-1)$ với mọi số nguyên $n\geqslant 1$ và mọi $t\in \mathbf{I}$ sao cho $2^{-n}\leqslant$ $t\leqslant 2^{1-n}$. Chứng minh rằng đó là một đường cong kín tại gốc. Chứng minh rằng ánh xạ $\alpha \mapsto [c_{\alpha}]$ từ $\{0,1\}^{\mathbf{N}^*}$ vào $\pi_1(P,0)$ là đơn ánh.

(b) Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, cho $q_n$ là ánh xạ từ P vào $C_n$ được cho bởi $q_n(x) =x$ nếu $x\in C_n$ và $q_n(x) = 0$ nếu không. Ánh xạ này liên tục. Chứng minh rằng đồng cấu nhóm $\psi :\pi_1(P,0)\rightarrow \prod_{n\geqslant 1}\pi_1(C_n,0)$ được cho bởi $\psi (\gamma ) = ((q_n)_*(\gamma ))_n$ có một tiết diện.