Exercice 9, § 5

Reprenons les notations de l’exercice 6. Pour tout entier $n\in \mathbf{N}^*$, soit $c_n:\mathbf{I}\rightarrow C_n$ le lacet en l’origine défini par $t\mapsto \frac{1}{2n}(1-$ cos(2$\pi t$), sin(2$\pi t$)).

a) Pour toute suite $\alpha \in \{0,1\}^{\mathbf{N}^*}$, soit $c_{\alpha}$ l’application définie par $c_{\alpha}(0) = 0$ par $c_{\alpha}(t) =\alpha_nc_n(2^nt-1)$ pour tout entier $n\geqslant 1$ et tout $t\in \mathbf{I}$ tel que $2^{-n}\leqslant$ $t\leqslant 2^{1-n}$. Montrer que c’est un lacet en l’origine. Montrer que l’application $\alpha \mapsto [c_{\alpha}]$ de $\{0,1\}^{\mathbf{N}^*}$ dans $\pi_1(P,0)$ est injective.

b) Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $q_n$ l’application de P dans $C_n$ donnée par $q_n(x) =x$ si $x\in C_n$ et $q_n(x) = 0$ sinon. Elle est continue. Montrer que l’homomorphisme de groupes $\psi :\pi_1(P,0)\rightarrow \prod_{n\geqslant 1}\pi_1(C_n,0)$ donné par $\psi (\gamma ) = ((q_n)_*(\gamma ))_n$ admet une section.