Bài tập 3, § 2

[^1] Cho X là một không gian tôpô và $x$ là một điểm của X.

Cho G là một nhóm và $\varphi :\pi_1(X, x)\rightarrow G$ là một đồng cấu nhóm. Cho $(U_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy giảm các không gian con của X mà giao của chúng rút gọn về điểm $x$. Với mọi $n$, cho $G_n$ là tập hợp các phần tử của G là ảnh bởi $\varphi$ của lớp của một đường vòng chứa trong $U_n$. a) Nếu G đếm được, dãy $(G_n)$ là dừng. (Rút gọn về trường hợp trong đó $(G_n: G_{n+1})\geqslant n+ 1$ với mọi $n$ và xét một sự liệt kê $(\gamma_n)_n$ của G; xây dựng bằng quy nạp các phần tử $\lambda_n\in G_n$ sao cho, ký hiệu $w_n=\lambda_1. . . \lambda_n$, ta có $\gamma_i\notin w_nG_{n+1}$ với $1\leqslant i\leqslant n$. Bây giờ chứng minh rằng giao $\bigcap_iw_iG_{i+1}$ là không rỗng.)

b) Giả sử G là Abel và phần tử đơn vị của nó là phần tử chia được vô hạn duy nhất của G. Khi đó $\bigcap_nG_n$ rút gọn về phần tử đơn vị. (Cho $a$ là một phần tử của giao; với mọi $n$, cho $\gamma_n\in \pi_1(U_n, x)$ mà ảnh bởi $\varphi$ bằng $a$. Xây dựng bằng quy nạp các lớp đường đi $\lambda_n\in \pi_1(U_n, x)$ sao cho $\lambda_n=\gamma_n\lambda^d_{n+1}$, trong đó $d$ là một số nguyên cố định $\geqslant 2$. Bây giờ chứng minh rằng $b= (d-1)\varphi (\lambda_1) +a$ là chia được vô hạn. Suy ra rằng $a= 0$.) c) Tổng quát hơn, nếu G là Abel và nếu mọi phần tử chia được vô hạn của G đều là xoắn, thì giao của các $G_n$ được tạo thành bởi các phần tử xoắn.

[^1]: Các kết quả của bài tập này và của bài tập tiếp theo được lấy từ bài báo của J. W. Cannon và G. R. Conner, « On the fundamental groups of one-dimensional spaces », Topology and its Applications 153 (2006), p. 2648–2672.