Exercice 3, § 2

[^1] Soit X un espace topologique et soit $x$ un point de X.

Soit G un groupe et soit $\varphi :\pi_1(X, x)\rightarrow G$ un homomorphisme de groupes. Soit $(U_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite décroissante de sous-espaces de X dont l’intersection est réduite au point $x$. Pour tout $n$, soit $G_n$ l’ensemble des éléments de G qui sont image par $\varphi$ de la classe d’un lacet contenu dans $U_n$. a) Si G est dénombrable, la suite $(G_n)$ est stationnaire. (Se ramener au cas où $(G_n: G_{n+1})\geqslant n+ 1$ pour tout $n$ et considérer une énumération $(\gamma_n)_n$ de G; construire par récurrence des éléments $\lambda_n\in G_n$ tels que, notant $w_n=\lambda_1. . . \lambda_n$, on ait $\gamma_i\notin w_nG_{n+1}$ pour $1\leqslant i\leqslant n$. Montrer alors que l’intersection $\bigcap_iw_iG_{i+1}$ n’est pas vide.)

b) Supposons que G soit abélien et que son élément neutre soit le seul élément indéfiniment divisible de G. Alors $\bigcap_nG_n$ est réduit à l’élément neutre. (Soit $a$ un élément de l’intersection ; pour tout $n$, soit $\gamma_n\in \pi_1(U_n, x)$ dont l’image par $\varphi$ soit égale à $a$. Construire par récurrence des classes de chemins $\lambda_n\in \pi_1(U_n, x)$ telles que $\lambda_n=\gamma_n\lambda^d_{n+1}$, où $d$ est un entier $\geqslant 2$ fixé. Montrer que $b= (d-1)\varphi (\lambda_1) +a$ est indéfiniment divisible. En déduire que $a= 0$.) c) Plus généralement, si G est abélien et si tout élément indéfiniment divisible de G est de torsion, alors l’intersection des $G_n$ est formée d’éléments de torsion.

[^1]: Les résultats de cet exercice et du suivant sont tirés de l’article de J. W. Cannon et G. R. Conner, « On the fundamental groups of one-dimensional spaces », Topology and its Applications 153 (2006), p. 2648–2672.