Bài tập 10, § 3

a) Chứng minh rằng, với mọi số nguyên $n\geqslant 2$, nhóm SU($n,\mathbf{C}$) là đơn liên. (Không gian SU(2$,\mathbf{C}$) là đồng phôi với $\mathbf{S}_3$. Cho SU($n,\mathbf{C}$) tác động lên mặt cầu đơn vị của $\mathbf{C}^n$, đồng nhất nhóm ổn định của điểm $(0, . . . ,0,1)$ với nhóm SU($n-1,\mathbf{C}$) và sử dụng Bài tập 9.)

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n\geqslant 2$, nhóm $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{C})$ là đơn liên. (Cho $B_+$ là nhóm con của $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{C})$ gồm các ma trận tam giác trên có các hệ số đường chéo là các số thực $>0$. Chứng minh rằng ánh xạ từ SU($n,\mathbf{C}$)$\times B_+$ vào $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{C})$ được cho bởi $(g, u)\mapsto g\cdot u$ là một đồng phôi.)