Exercice 10, § 3

a) Démontrer que, pour tout entier $n\geqslant 2$, le groupe SU($n,\mathbf{C}$) est simplement connexe. (L’espace SU(2$,\mathbf{C}$) est homéomorphe à $\mathbf{S}_3$. Faire opérer SU($n,\mathbf{C}$) sur la sphère unité de $\mathbf{C}^n$, identifier le fixateur du point $(0, . . . ,0,1)$ au groupe SU($n-1,\mathbf{C}$) et utiliser l’exercice 9.)

b) Démontrer que pour tout entier $n\geqslant 2$, le groupe $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{C})$ est simplement connexe. (Soit $B_+$ le sous-groupe de $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{C})$ formé des matrices triangulaires supérieures dont les coefficients diagonaux sont des nombres réels $>0$. Démontrer que l’application de SU($n,\mathbf{C}$)$\times B_+$ dans $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{C})$ donnée par $(g, u)\mapsto g\cdot u$ est un homéomorphisme.)