Bài tập 2, § 3

Ta ký hiệu bởi $\mathbf{H}$ đại số quaternion của Hamilton (TG, VIII, p. 4) và bởi $(1, i, j, k)$ cơ sở chính tắc của nó. Ta ký hiệu bởi N dạng toàn phương chuẩn của $\mathbf{H}$; tập hợp các quaternion có chuẩn bằng 1 là mặt cầu $\mathbf{S}_3$. Gọi $\mathbf{H}_0$ là không gian con vectơ trên $\mathbf{R}$ của các quaternion có vết bằng không và $N_0$ là hạn chế của N lên $\mathbf{H}_0$.

a) Chứng minh rằng đồng cấu của mệnh đề 4 của TG, VIII, p. 4, biến mặt cầu $\mathbf{S}_3$ thành một phủ bậc 2 của $\mathbf{S}\mathbf{O}(N_0)$.

b) Suy ra rằng nhóm Poincaré của SO(3$,\mathbf{R}$) là đẳng cấu với $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$. Hãy cho tường minh một vòng tại $I_3$ trong SO(3$,\mathbf{R}$) mà lớp đồng luân ngặt của nó là phần tử không tầm thường duy nhất của nhóm Poincaré này.

c) Gọi $\varphi$ là ánh xạ từ $\mathbf{S}_3\times \mathbf{S}_3$ vào SO(4$,\mathbf{R}$) được cho bởi $\varphi (\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2)(\mathbf{x}) =$ $\mathbf{q}_1\mathbf{x}\mathbf{q}^{-1}_2$. Chứng minh rằng $\varphi$ biến $\mathbf{S}_3\times \mathbf{S}_3$ thành một phủ bậc 2.

d) Suy ra rằng nhóm Poincaré của SO(4$,\mathbf{R}$) là đẳng cấu với $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$.