Exercice 2, § 3

On note $\mathbf{H}$ l’algèbre des quaternions de Hamilton (TG, VIII, p. 4) et $(1, i, j, k)$ sa base canonique. On note N la forme quadratique norme de $\mathbf{H}$; l’ensemble des quaternions de norme 1 est la sphère $\mathbf{S}_3$. Soit $\mathbf{H}_0$ le sous$\mathbf{R}$-espace vectoriel des quaternions de trace nulle et $N_0$ la restriction à $\mathbf{H}_0$ de N.

a) Démontrer que l’homomorphisme de la prop. 4 de TG, VIII, p. 4, fait de la sphère $\mathbf{S}_3$ un revêtement de degré 2 de $\mathbf{S}\mathbf{O}(N_0)$.

b) En déduire que le groupe de Poincaré de SO(3$,\mathbf{R}$) est isomorphe à $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$. Expliciter un lacet en $I_3$ dans SO(3$,\mathbf{R}$) dont la classe d’homotopie stricte est l’unique élément non trivial de ce groupe de Poincaré.

c) Soit $\varphi$ l’application de $\mathbf{S}_3\times \mathbf{S}_3$ dans SO(4$,\mathbf{R}$) donnée par $\varphi (\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2)(\mathbf{x}) =$ $\mathbf{q}_1\mathbf{x}\mathbf{q}^{-1}_2$. Démontrer que $\varphi$ fait de $\mathbf{S}_3\times \mathbf{S}_3$ un revêtement de degré 2.

d) En déduire que le groupe de Poincaré de SO(4$,\mathbf{R}$) est isomorphe à $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$.