Bài tập 3, § 3

Cho $n$ là một số tự nhiên. Ta cho nhóm tôpô SO($n+ 1,\mathbf{R}$) tác động lên mặt cầu $\mathbf{S}_n$ của $\mathbf{R}^{n+1}$.

a) Bài tập chứng minh rằng nhóm ổn định của vectơ $\mathbf{e}_{n+1}$ đồng nhất với nhóm tôpô SO($n,\mathbf{R}$).

b) Cho $f:\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{S}_n$ là một ánh xạ liên tục. Ta giả sử rằng $f(t)=\not$ (0, . . . ,0,1) với mọi $t\in \mathbf{I}$. Bài tập chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ liên tục $g:\mathbf{I}\rightarrow$ SO($n+ 1,\mathbf{R}$) sao cho $f(t) =g(t)\cdot \mathbf{e}_{n+1}$ với mọi $t\in \mathbf{I}$.

c) Nếu $n\geqslant 3$, bài tập chứng minh rằng đơn ánh của SO($n,\mathbf{R}$) vào SO($n+1,\mathbf{R}$) cảm sinh một đẳng cấu giữa các nhóm Poincaré.