Exercice 3, § 3

Soit $n$ un entier naturel. On fait agir le groupe topologique SO($n+ 1,\mathbf{R}$) sur la sphère $\mathbf{S}_n$ de $\mathbf{R}^{n+1}$.

a) Démontrer que le fixateur du vecteur $\mathbf{e}_{n+1}$ s’identifie au groupe topologique SO($n,\mathbf{R}$).

b) Soit $f:\mathbf{I}\rightarrow \mathbf{S}_n$ une application continue. On suppose que $f(t)=\not$ $(0, . . . ,0,1)$ pour tout $t\in \mathbf{I}$. Démontrer qu’il existe une application continue $g:\mathbf{I}\rightarrow$ SO($n+ 1,\mathbf{R}$) telle que $f(t) =g(t)\cdot \mathbf{e}_{n+1}$ pour tout $t\in \mathbf{I}$.

c) Si $n\geqslant 3$, démontrer que l’injection de SO($n,\mathbf{R}$) dans SO($n+1,\mathbf{R}$) induit un isomorphisme entre groupes de Poincaré.