Bài tập 5, § 3

Cho G là một nhóm tôpô liên thông, địa phương đơn liên thông, cho $(\widetilde{G}, p)$ là một phủ phổ quát của G; ta trang bị cho $\widetilde{G}$ cấu trúc nhóm tôpô sao cho $p$ là một đồng cấu nhóm. Ta ký hiệu Z là tâm của G$,e$ là phần tử đơn vị của nó, $\widetilde{Z}$ là tâm của $\widetilde{G}$ và $\widetilde{e}$ là phần tử đơn vị của nó. (a) Cho $f$ là một tự đẳng cấu liên tục của nhóm G. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ liên tục duy nhất $\widetilde{f}:\widetilde{G}\rightarrow \widetilde{G}$ sao cho $\widetilde{f}(\widetilde{e}) =\widetilde{e}$ và $p\circ \widetilde{f}$ = $f\circ p$. Chứng minh rằng $\widetilde{f}$ là một tự đẳng cấu nhóm. Chứng minh rằng ánh xạ $\varphi :f\mapsto \widetilde{f}$ là một cấu xạ nhóm đơn ánh từ Aut(G) vào Aut($\widetilde{G}$).

(b) Ta ký hiệu Out(G) là thương của nhóm Aut(G) bởi nhóm con các tự đẳng cấu nội; ta định nghĩa Out($\widetilde{G}$) một cách tương tự. Chứng minh rằng đồng cấu $\varphi$ cảm sinh, bằng cách chuyển qua các thương, một đồng cấu nhóm đơn ánh $\psi :$ Out(G) $\rightarrow$ Out($\widetilde{G}$).