Exercice 5, § 3

Soit G un groupe topologique connexe délaçable, soit $(\widetilde{G}, p)$ un revêtement universel de G; on munit $\widetilde{G}$ de sa structure de groupe topologique pour laquelle $p$ est un homomorphisme de groupes. On note Z le centre de G$,e$ son élément neutre, $\widetilde{Z}$ le centre de $\widetilde{G}$ et $\widetilde{e}$ son élément neutre. a) Soit $f$ un automorphisme continu du groupe G. Démontrer qu’il existe une unique application continue $\widetilde{f}:\widetilde{G}\rightarrow \widetilde{G}$ telle que $\widetilde{f}(\widetilde{e}) =\widetilde{e}$ et $p\circ \widetilde{f}$ = $f\circ p$. Démontrer que $\widetilde{f}$ est un automorphisme de groupes. Démontrer que l’application $\varphi :f\mapsto \widetilde{f}$ est un morphisme de groupes injectif de Aut(G) dans Aut($\widetilde{G}$).

b) On note Out(G) le quotient du groupe Aut(G) par le sous-groupe des automorphismes intérieurs ; on définit Out($\widetilde{G}$) de manière analogue. Démontrer que l’homomorphisme $\varphi$ induit, par passage aux quotients, un homomorphisme de groupes injectif $\psi :$ Out(G) $\rightarrow$ Out($\widetilde{G}$).