Bài tập 8, § 3

Cho $G$ là một nhóm Lie và $H$ là một nhóm con đóng của $G$; ta ký hiệu $H_0$ là thành phần đơn vị của $H$ và $\pi_0(H)$ là nhóm $H/H_0$. Ta cũng ký hiệu $p$ là toàn cấu chính tắc của $G$ lên $G/H$.

a) Ánh xạ $p$ có tính chất nâng đường đi.

b) Nếu $H$ liên thông, đồng cấu $p_*:\pi_1(G, e)\rightarrow \pi_1(G/H, p(e))$ là toàn ánh.

c) Tồn tại một ánh xạ duy nhất $\varphi :\pi_1(G/H, p(e))\rightarrow \pi_0(H)$ mà với mọi đường đi $\widetilde{c}$ có gốc $e$ trong $G$ và có điểm cuối thuộc $H$, ánh xạ này gán cho lớp của vòng $p\circ \widetilde{c}$ trong $G/H$ lớp của $\widetilde{c}(1)$ theo modulo $H_0$; đó là một cấu xạ nhóm.

d) Nếu $G$ đơn liên, thì $\varphi$ là một đẳng cấu. Đặc biệt, $H$ liên thông khi và chỉ khi $G/H$ đơn liên.