Exercice 8, § 3

Soit G un groupe de Lie et soit H un sous-groupe fermé de G; on note $H_0$ la composante neutre de H et $\pi_0(H)$ le groupe $H/H_0$. Notons aussi $p$ la surjection canonique de G sur $G/H$.

a) L’application $p$ possède la propriété de relèvement des chemins.

b) Si H est connexe, l’homomorphisme $p_*:\pi_1(G, e)\rightarrow \pi_1(G/H, p(e))$ est surjectif.

c) Il existe une unique application $\varphi :\pi_1(G/H, p(e))\rightarrow \pi_0(H)$ qui, pour tout chemin $\widetilde{c}$ d’origine $e$ dans G dont le terme appartient à H, associe à la classe du lacet $p\circ \widetilde{c}$ dans $G/H$ la classe de $\widetilde{c}(1)$ modulo $H_0$; c’est un morphisme de groupes.

d) Si G est simplement connexe, alors $\varphi$ est un isomorphisme. En particulier, H est connexe si et seulement si $G/H$ est simplement connexe.