Bài tập 9, § 3

Cho $G$ là một nhóm Lie liên thông, cho $(\widetilde{G}, q)$ là một phủ phổ quát của G và cho $\widetilde{e}$ là phần tử đơn vị của $\widetilde{G}$. Cho H là một nhóm con đóng liên thông của G; ký hiệu $i: H\rightarrow G$ là đơn ánh chính tắc và $p: G\rightarrow G/H$ là toàn cấu chính tắc.

a) Gọi $H_1$ là thành phần liên thông của đơn vị của $\overset{-1}{q}(H)$ và gọi $q_1:\widetilde{G}/H_1\rightarrow G/H$ là ánh xạ suy ra từ $q$ bằng cách chuyển qua các thương. Chứng minh rằng $q_1$ làm cho $\widetilde{G}/H_1$ thành một phủ của $G/H$ mà thớ trên $p(e)$ đẳng cấu với $\pi_1(G/H, p(e))$. b) Suy ra rằng tồn tại một dãy khớp các nhóm