Exercice 9, § 3

Soit G un groupe de Lie connexe, soit $(\widetilde{G}, q)$ un revêtement universel de G et soit $\widetilde{e}$ l’élément neutre de $\widetilde{G}$. Soit H un sous-groupe fermé connexe de G ; on note $i: H\rightarrow G$ l’injection canonique et $p: G\rightarrow G/H$ la surjection canonique.

a) Soit $H_1$ la composante neutre de $\overset{-1}{q}(H)$ et soit $q_1:\widetilde{G}/H_1\rightarrow G/H$ l’application déduite de $q$ par passage aux quotients. Démontrer que $q_1$ fait de $\widetilde{G}/H_1$ un revêtement de $G/H$ dont la fibre en $p(e)$ est isomorphe à $\pi_1(G/H, p(e))$. b) En déduire qu’il existe une suite exacte de groupes