Bài tập 1, § 5

Cho $A$ là một tập con đóng và rời rạc của $\mathbf{R}^2$.

(a) Với $R>0$, cho $D_R$ là tập hợp các $z\in \mathbf{C}$ sao cho $|z|<R$; chứng minh rằng nhóm cơ bản của $D_R-(A\cap D_R)$ là đẳng cấu với nhóm tự do trên $A\cap D_R$.

(b) Chứng minh rằng tồn tại một phép đồng phôi $f$ của $\mathbf{R}^2$ lên chính nó sao cho $f(A)\subset \mathbf{N}\times \{0\}$.

(c) Chứng minh rằng nhóm cơ bản của $\mathbf{R}^2-$ A là đẳng cấu với F(A).