$\mathsf{L}(v) =\delta_if_*(v)\delta^{-1}_i$ với $i\in \mathsf{I}$ và $v\in \pi_1(X,\mathsf{a}(i))$,

$\mathsf{L}(j) =\delta_{i_1(j)}\tau (j)\delta^{-1}_{i_2(j)}$ với $j\in \mathsf{J}$.

Hơn nữa, đồng cấu $\mathsf{L}$ là toàn ánh và hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất chứa các phần tử sau:

($R_1$)$\mathsf{r}_1(j) =j$ với $j$ thuộc Fl($\mathsf{T}$) ;

($R_2$)$\mathsf{r}_2(j, v) =\varphi_j(v)j\psi_j(v)^{-1}j^{-1}$ với $j\in \mathsf{J}$ và $v\in \pi_1(Z,\mathsf{b}(j))$;

($R_3$)$\mathsf{r}_3(k) =\lambda_1(k)j_{12}(k)\lambda_2(k)j_{23}(k)\lambda_3(k)j_{13}(k)^{-1}$, với $k\in \mathsf{K}$.

Sự tồn tại và tính duy nhất của đồng cấu $\mathsf{L}$ suy ra từ tính chất phổ quát của các tích tự do và các nhóm tự do. Hơn nữa, đồng cấu này là hợp thành của đồng cấu $\varpi '(f)_{\gamma(\mathsf{a}(i_0))}$ suy ra từ $\varpi '(f)$ bằng cách chuyển qua các nhóm đẳng hướng, và của đồng cấu nhóm $\lambda$ được xác định bởi Mệnh đề 5 của II, p. 208, có tính đến sự kiện rằng dữ liệu van Kampen đã chọn xác định một trang bị đầy đủ của cặp $(\varpi (p_1), \varpi (p_2))$ các cấu xạ nhóm vị từ $\varpi (Z)$ vào $\varpi (X)$. Theo mệnh đề đó, ảnh của đồng cấu $\lambda$ là nhóm Coeg($f$)$_{\gamma(\mathsf{a}(i_0))}$ và hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất chứa các phần tử được xác định bởi các quan hệ ($R_1$)$, (R_2)$ và ($R_3$). Mặt khác, cấu xạ nhóm vị $\varpi '(f):$ Coeg($f$)$\rightarrow \varpi (Y)$ là một đẳng cấu, theo định nghĩa của tính chất (VK). Vậy định lý được chứng minh.

Các thành phần cung-liên thông của X là các $A_i$, với $i\in I$. Các thành phần cung-liên thông của $X\times_YX$ là các $(V\times \{i\})\times_Y$ $(V\times \{i'\})$, với $(i, i',V)\in J'$. Do đó, khung $\mathsf{\Gamma}$ của cặp $(\varpi (p_1), \varpi (p_2))$ đẳng cấu với quiver có tập đỉnh là I, có tập mũi tên là $J'$, các ánh xạ gốc và ngọn lần lượt là các ánh xạ $j\mapsto i_1(j)$ và $j\mapsto i_2(j)$. Quiver $\mathsf{\Gamma}$ là liên thông (IV, p. 406). Hơn nữa, mô tả này đồng nhất Γ với một quiver con của $\mathsf{\Gamma}$. Ta cũng nhận thấy rằng với mọi mũi tên $j$ của $\mathsf{\Gamma}$, hoặc $j\in$ Fl($\widetilde{\Gamma}$), hoặc tồn tại $i\in I$ sao cho $j= (i, i,A_i)$. Suy ra ánh xạ $\pi_0(\Gamma )\rightarrow \pi_0(\mathsf{\Gamma})$ suy ra từ đơn ánh của Γ vào $\mathsf{\Gamma}$ là song ánh, nên Γ là liên thông.

Với mọi phần tử $i$ của I, chọn một điểm $a(i)$ của $A_i$.

Với mọi phần tử $j= (i, i',V)$ của J, chọn một điểm $b(j)$ trong V, một đường đi $B_1(j)$ nối $b(j)$ với $a(i)$ trong $A_i$ và một đường đi $B_2(j)$

nối$\overline{j}= (i', i,b(jV)$) tớibelongs to$a(i')$ trong A$J^{i'}$. Choand và đặt$j= (i, ib(',\overline{j}V)$) =một phần tử của$b(j)$, $B_1(j) = B\overline{J}_2$; khi đó$(\overline{j})$ và $B_2(j) = B_1(\overline{j})$. Với $j\in J'\cup \overline{J'}$, các đường đi $\overline{B_1(j)}$ và $B_2(j)$ trong Y ghép được. Đặt

Đó là một đường đi nối $a(i_1(j))$ với $a(i_2(j))$ trong Y; ta có quan hệ $B(\overline{j}) = B(j)$.

Với mọi $j= (i, i',V)\in J'$, ký hiệu $p_{j,1}: V\rightarrow A_i$ và $p_{j,2}: V\rightarrow A_{i'}$ là các đơn ánh chính tắc; cũng ký hiệu $\varphi_j:\pi_1(V, b(j))\rightarrow \pi_1(A_i, a(i))$ và $\psi_j:\pi_1(V, b(j))\rightarrow \pi_1(A_{i'}, a(i'))$ là các đồng cấu nhóm được xác định bởi

và

với $v\in \pi_1(V, b(j))$ (xem IV, p. 407).

Cố định một phần tử $i_0$ của I, cũng như một quiver con T trong quiver Γ mà đồ thị liên kết $\widetilde{T}$ của nó là một cây cực đại của đồ thị $\widetilde{\Gamma}$.

Với $i\in I$, xét $(i_0, j_1, i_1, . . . , j_n, i)$ là đường đi duy nhất không quay lui nối $i_0$ với $i$ trong cây $\widetilde{T}$, và đặt

đây là lớp của một đường đi nối $a(i_0)$ với $a(i)$ trong Y. Ký hiệu $\alpha_i$ là đồng cấu từ $\pi_1(A_i, a(i))$ vào $\pi_1(Y, a(i))$ suy ra từ đơn ánh chính tắc, và ký hiệu $\mu_i:\pi_1(A_i, a(i))\rightarrow \pi_1(Y, a(i_0))$ là đồng cấu nhóm được xác định bởi

Sau hết, ký hiệu $\mu: F(J)\rightarrow \pi_1(Y, a(i_0))$ là đồng cấu nhóm duy nhất sao cho ta có

với mọi $j\in J$. Tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất

trùng với $\mu_i$ trên $\pi_1(A_i, a(i))$, với mọi $i\in$ I, và với $\mu$ trên F(J).

Gọi $K'$ là tập hợp các bộ bốn $(i_1, i_2, i_3,U)$, trong đó $i_1, i_2, i_3$ là các phần tử của I và U là một thành phần liên thông bằng đường của $A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap A_{i_3}$. Với mọi phần tử $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ của $K'$ và mọi cặp $(s, t)$ các phần tử của $\{1,2,3\}$, đặt $j_{st}(k) = (i_s, i_t,V)$, trong đó V là thành phần liên thông bằng đường của $A_{i_s}\cap A_{i_t}$ chứa U; đây là một phần tử của $J'$.

Gọi K là tập con của $K'$ tạo thành bởi các bộ bốn $(i_1, i_2, i_3,U)$ sao cho $i_1< i_2< i_3$. Với mọi phần tử $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ của K, chọn một điểm $c(k)$ của U, cùng với các đường đi $C_{12}(k)$, $C_{23}(k)$ và $C_{13}(k)$, sao cho $C_{st}(k)$ nối $c(k)$ với $b(j_{st}(k))$ trong $A_{i_s}\cap A_{i_t}$ với $s, t\in \{1,2,3\}$ và $s < t$.

Khi đó đặt, với $k\in K$,

(4) L$L^2_3((kk) = B) = B^2_2((jj^{12}_{23}((kk))))**\overline{CC^{1223}((kk))}**CC^{23}_{13}((kk))**BB^1_2((jj^{23}_{13}((kk))))$,.

Với $s\in \{1,2,3\}$, ký hiệu $\lambda_s(k)$ là lớp trong $\pi_1(A_{i_s}, a(i_s))$ của vòng $L_s(k)$.

($R_1$)$r_1(j) =j$ for $j$ in Fl(T);

($R_2$)$r_2(j, v) =\varphi_j(v)j\psi_j(v)^{-1}j^{-1}$

với $j= (i, i',V)\in J$ và $v\in \pi_1(V, b(j))$;

($R_3$)$r_3(k) =\lambda_1(k)j_{12}(k)\lambda_2(k)j_{23}(k)\lambda_3(k)j_{13}(k)^{-1}$

với $k\in K$.

Cho X là tổng tôpô của họ $(A_i)_{i\in I}$ và gọi $f: X\rightarrow Y$ là ánh xạ cảm sinh bởi họ các đơn ánh chính tắc của mỗi $A_i$ vào Y. Theo giả thiết, ánh xạ $f$ thỏa mãn tính chất (VK); do đó ta sẽ áp dụng Định lý 1 của No$^o1$ cho nó. Vì vậy, ta lấy lại ký hiệu của No$^o$ này và bắt đầu bằng việc xác định một dữ liệu van Kampen cho ánh xạ $f$.

Các thành phần liên thông bằng cung của X là các tập hợp $X_i=$ $A_i\times \{i\}$ với $i\in I$. Do đó $\pi_0(X)$ được đồng nhất với tập hợp I. Với mỗi $i\in I$, gọi $\mathsf{a}(i)$ là điểm $(a(i), i)$ của $X_i$.

Đặt $Z = X\times_YX$. Các thành phần liên thông bằng cung của Z là các tập hợp $Z_j= (V\times \{i\})\times_Y(V\times \{i'\})$, trong đó $j= (i, i',V)$ chạy qua $J'$. Do đó $\pi_0(Z)$ được đồng nhất với tập hợp $J'$. Gọi $J_0$ là tập hợp các phần tử của J có dạng $(i, i,A_i)$, sao cho họ $(J_0,J,J)$ là một phân hoạch của $J'$. Với $i\in I$ và $j= (i, i,A_i)\in J_0$, đặt $\mathsf{b}(j) = (\mathsf{a}(i),\mathsf{a}(i))$ và lấy cho $\beta_1(j)$ và $\beta_2(j)$ lớp của đường đi hằng tại $\mathsf{a}(i)$. Với $j= (i, i',V)\in J\cup \overline{J}$, gọi $\mathsf{b}(j)$ là điểm $((b(j), i),(b(j), i'))$ của $Z_j$ và gọi $\beta_1(j)$ và $\beta_2(j)$ là các lớp của những đường đi $t\mapsto (B_1(j)(t), i)$ và $t\mapsto (B_2(j)(t), i')$ trong X.

Đặt $W = X\times_YX\times_YX$. Các thành phần liên thông bằng cung của W là các tập hợp $W_k= (U\times \{i_1\})\times_Y(U\times \{i_2\})\times_Y(U\times \{i_3\})$, trong đó $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ chạy qua $K'$. Do đó $\pi_0(W)$ được đồng nhất với tập hợp $K'$.

Gọi $K_0$ là tập hợp các phần tử của $K'$ có dạng $k= (i, i, i,A_i)$, với $i\in I$. Với một phần tử như vậy $k\in K_0$, đặt $\mathsf{c}(k) = (\mathsf{a}(i),\mathsf{a}(i),\mathsf{a}(i))$ và chọn cho $\gamma_{st}(k)$ lớp của đường đi hằng tại $(\mathsf{a}(i),\mathsf{a}(i))$.

Gọi $K_1$ là tập hợp các phần tử của $K'$ có dạng $k$ = $(i_1, i_2, i_3,V)$ mà tập hợp $\{i_1, i_2, i_3\}$ có hai phần tử. Gọi $k$ là một phần tử của $K'$ có dạng $(i, i, i',V)$, sao cho $j= (i, i',V)$ thuộc $J\cup \overline{J}$. Khi đó ta đặt

và lấy cho $\gamma_{13}(k)$ và $\gamma_{23}(k)$ lớp của đường đi hằng tại $\mathsf{b}(j)$. Người ta định nghĩa tương tự $c(k),\gamma_{12}(k),\gamma_{13}(k),\gamma_{23}(k)$ cho mọi phần tử $k$ của $K'$.

Với mọi phần tử $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ của K, đặt

với mọi cặp $(s, t)$ gồm các phần tử phân biệt của $\{1,2,3\}$, lấy cho $\gamma_{st}(k)$ ảnh qua ánh xạ $x\mapsto ((x, s),(x, t))$ của lớp của đường đi $C_{st}(k)$ trong $A_{i_s(k)}\cap A_{i_t(k)}$.

Với mọi điểm $x= (x_1, x_2, x_3)$ của $X\times_YX\times_YX$ và mọi phép hoán vị $\sigma \in \mathfrak{S}_3$, đặt $\sigma (x) = (x_{\sigma^{-1}(1)}, x_{\sigma^{-1}(2)}, x_{\sigma^{-1}(3)})$. Như vậy xác định được một phép toán của nhóm $\mathfrak{S}_3$ trên W. Với mọi $k= (i_1, i_2, i_3,U)\in K'$ và mọi phép hoán vị $\sigma \in \mathfrak{S}_3$, đặt tương tự $\sigma (k) = (i_{\sigma^{-1}(1)}, i_{\sigma^{-1}(2)}, i_{\sigma^{-1}(3)},U)$; ta có

Gọi $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ là một phần tử của $K'$ sao cho $i_1, i_2, i_3$ từng đôi một phân biệt. Tồn tại một phép hoán vị duy nhất $\sigma \in$ $\mathfrak{S}_3$ sao cho $i_{\sigma^{-1}(1)}< i_{\sigma^{-1}(2)}< i_{\sigma^{-1}(3)}$, để $\sigma (k) =$ $(i_{\sigma^{-1}(1)}, i_{\sigma^{-1}(2)}, i_{\sigma^{-1}(3)},U)$ thuộc K. Với $s\in \{1,2,3\}$, khi đó ta đặt $c_s(k) =c_{\sigma(s)}(\sigma (k))$ và $c(k) = (c_1(k), c_2(k), c_3(k))$, sao cho $c(k) =\sigma^{-1}(c(\sigma (k)))$. Với $(s, t)\in \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$, người ta định nghĩa $C_{st}(k) = C_{\sigma^{-1}(s)\sigma^{-1}(t)}(\sigma (k))$; đó là một đường đi nối $c(k)$ với $b(j_{\sigma(s)\sigma(t)}(\sigma (k))) =b(j_{st}(k))$.

Kí hiệu $g$ là cấu xạ của các quiver từ Γ vào $\mathsf{\Gamma}$ gắn với một đỉnh $i\in I$ của Γ đỉnh $X_i= A_i\times \{i\}$ của $\mathsf{\Gamma}$ và với một mũi tên $j= (i, i',V)\in J'$ của Γ mũi tên $Z_j= (V\times \{i\})\times_Y(V\times \{i'\})$ của $\mathsf{\Gamma}$. Ánh xạ Som($g$) là song ánh; ánh xạ Fl($g$) là đơn ánh và đồ thị Γ là liên thông (IV, p. 410, bổ đề 1), và ảnh của quiver con T dưới $g$ là một quiver con $\mathsf{T}$ của $\mathsf{\Gamma}$ mà đồ thị liên kết của nó là một cây cực đại của đồ thị $\widetilde{\mathsf{\Gamma }}$.

Các điểm $\mathsf{a}(i)$, với $i\in I$, các điểm $\mathsf{b}(j)$, với $j\in J'$, các điểm $\mathsf{c}(k)$, với $k\in K'$, các lớp đường đi $\beta_1(j)$ và $\beta_2(j)$, với $j\in J'$, các lớp đường đi $\gamma_{st}(k)$, với $k\in K'$, quiver con $g(T)$ của $\mathsf{\Gamma}$ và phần tử $i_0$ của I xác định một dữ liệu van Kampen cho $f$.

Kí hiệu $\rho$ là đồng cấu nhóm duy nhất

cảm sinh đẳng cấu từ $\pi_1(X,\mathsf{a}(i))$ lên $\pi_1(A_i, a(i))$ suy ra từ sự đồng nhất $A_i\times \{i\}$ với $A_i$, với mọi $i\in I$, và sao cho ta có

$\rho (j) = 1$ với $j\in J_0$

$\rho (j) =j,\rho (\overline{j}) =j^{-1}$ với $j\in J$.

Kí hiệu $\mathsf{L}$ là đồng cấu nhóm được định nghĩa trong Định lý 1 của IV, p. 408. Với $j= (i, i,A_i)\in J_0$, ta có $\mathsf{L}(j) = 1 =\mathsf{M}\circ \rho (j)$. Cho $j= (i, i',V)$ là một phần tử của J; ta có $\mathsf{L}(j) = (\mathsf{M}\circ \rho )(j)$ theo định nghĩa. Sau cùng, nếu $j=$ $(i, i',V)$ là một phần tử của $\overline{J},\overline{j}\in J$ thì ta kiểm tra được rằng

Do đó, ta có $\mathsf{M}\circ \rho =\mathsf{L}$.

Đồng cấu $\mathsf{L}$ là toàn ánh (nơi đã dẫn), do đó đồng cấu $\mathsf{M}$ cũng vậy. Vì đồng cấu $\rho$ là toàn ánh, hạt nhân của $\mathsf{M}$ là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của $(_i*_{\in I}\pi_1(A_i, a(i)))*F(J_1)$ chứa các ảnh qua $\rho$ của những phần tử được xác định bởi các quan hệ ($R_1$), ($R_2$)$, (R_3)$ của định lý 1 (IV, p. 408). Chứng minh sẽ đầy đủ một khi ta đã kiểm tra rằng các ảnh này, ngoài các phần tử được xác định bởi các quan hệ ($R_1$)$, (R_2), (R_3)$ của Mệnh đề 1, còn là những phần tử liên hợp với chúng, hoặc liên hợp với các nghịch đảo của chúng, cùng với phần tử đơn vị.

Các phần tử $R_1$. — Một mũi tên của cây có hướng $\mathsf{T}$ có dạng $Z_j$, với $j= (i, i',V)\in J$; ảnh của nó là phần tử $j$ của F(J).

Các phần tử $R_2$. — Cho $j= (i, i',V)\in J'$. Nếu $i=i'$, ta có $\rho (\mathsf{r}_2(j, v)) = 1$ với mọi $v\in \pi_1(A_i,\mathsf{a}(i))$. Nếu $j\in J$, ảnh của $\mathsf{r}_2(j, v)$ là phần tử $r_2(j, v) =\varphi_j(v)j\psi_j(v)^{-1}j^{-1}$, với mọi $v\in \pi_1(Z,\mathsf{b}(j))$. Trong trường hợp còn lại, ta có $\overline{j}\in J$ và đẳng thức

cho thấy rằng $\rho (\mathsf{r}_2(j, v))$ liên hợp với $\rho (\mathsf{r}_2(j, v^{-1}))$.

Các phần tử $R_3$. — Cho $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ là một phần tử của $K'$.

Nếu $k\in K_0,i_1$ = $i_2$ = $i_3,\lambda_s(k)$ là lớp của đường đi tầm thường với mọi $s\in \{1,2,3\},j_{st}(k)\in J_0$ với mọi cặp $(s, t)\in$ $\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$. Khi đó $\rho (\mathsf{r}_3(k))$ là phần tử đơn vị.

Giả sử $k\in K_1$. Nếu $i_1=i_2$, thì $j= (i_1, i_3,U)\in J\cup \overline{J}$ và ta có

mà ảnh của nó qua $\rho$ là phần tử đơn vị. Các trường hợp khác được xử lý tương tự.

Giả sử rằng $i_1, i_2, i_3$ phân biệt từng đôi một. Nếu $i_1< i_2< i_3$, $k\in K$ và ảnh của $\rho (\mathsf{r}_3(k))$ là phần tử $r_3(k)$.

Cho $\sigma \in \mathfrak{S}_3$ là phép hoán vị biến 1 thành 2 và 2 thành 3. Ta có

Ta kiểm tra tương tự rằng $\lambda_2(\sigma (k)) =\lambda_1(k)$ và $\lambda_3(\sigma (k)) =\lambda_2(k)$. Do đó,

điều này chứng minh rằng $\rho (\mathsf{r}_3(\sigma (k)))$ liên hợp với

Cho $\tau \in \mathfrak{S}_3$ là phép hoán vị đổi chỗ có giá đỡ $\{1,2\}$. Ta có

$\lambda_1(\tau (k)) =\lambda_2(k)^{-1},\lambda_2(\tau (k)) =\lambda_1(k)^{-1}$ và $\lambda_3(\tau (k)) =\lambda_3(k)^{-1}$. Các đẳng thức

cho thấy rằng $\rho (\mathsf{r}_3(\tau (k)))$ liên hợp với nghịch đảo của

Vì nhóm $\mathfrak{S}_3$ được sinh bởi các hoán vị $\tau$ và $\sigma$, suy ra rằng, với mọi $k\in K$ và mọi $\sigma \in \mathfrak{S}_3,\rho (\mathsf{r}_3(\sigma (k)))$ liên hợp với $\rho (\mathsf{r}_3(k))$ hoặc với nghịch đảo của nó.

Vậy mệnh đề 1 được chứng minh.