$\mathsf{L}(v) =\delta_if_*(v)\delta^{-1}_i$ pour $i\in \mathsf{I}$ et $v\in \pi_1(X,\mathsf{a}(i))$,

$\mathsf{L}(j) =\delta_{i_1(j)}\tau (j)\delta^{-1}_{i_2(j)}$ pour $j\in \mathsf{J}$.

De plus, l’homomorphisme $\mathsf{L}$ est surjectif et son noyau est le plus petit sous-groupe distingué contenant les éléments suivants :

($R_1$)$\mathsf{r}_1(j) =j$ pour $j$ dans Fl($\mathsf{T}$) ;

($R_2$)$\mathsf{r}_2(j, v) =\varphi_j(v)j\psi_j(v)^{-1}j^{-1}$ pour $j\in \mathsf{J}$ et $v\in \pi_1(Z,\mathsf{b}(j))$;

($R_3$)$\mathsf{r}_3(k) =\lambda_1(k)j_{12}(k)\lambda_2(k)j_{23}(k)\lambda_3(k)j_{13}(k)^{-1}$, pour $k\in \mathsf{K}$.

L’existence et l’unicité de l’homomorphisme $\mathsf{L}$ résultent de la propriété universelle des produits libres et des groupes libres. Du reste, cet homomorphisme est le composé de l’homomorphisme $\varpi '(f)_{\gamma(\mathsf{a}(i_0))}$ déduit de $\varpi '(f)$ par passage aux groupes d’isotropie et de l’homomorphisme de groupes $\lambda$ défini par la prop. 5 de II, p. 208, compte tenu de ce que la donnée de van Kampen choisie détermine un équipement complet du couple $(\varpi (p_1), \varpi (p_2))$ de morphismes de groupoïdes de $\varpi (Z)$ dans $\varpi (X)$. D’après cette proposition, l’homomorphisme $\lambda$ a pour image le groupe Coeg($f$)$_{\gamma(\mathsf{a}(i_0))}$ et son noyau est le plus petit sous-groupe distingué contenant les éléments définis par les relations ($R_1$)$, (R_2)$ et ($R_3$). D’autre part, le morphisme de groupoïdes $\varpi '(f):$ Coeg($f$)$\rightarrow \varpi (Y)$ est un isomorphisme, par définition de la propriété (VK). Le théorème est donc démontré.

Les composantes connexes par arcs de X sont les $A_i$, pour $i\in I$. Les composantes connexes par arcs de $X\times_YX$ sont les $(V\times \{i\})\times_Y$ $(V\times \{i'\})$, pour $(i, i',V)\in J'$. Par suite, l’armature $\mathsf{\Gamma}$ du couple $(\varpi (p_1), \varpi (p_2))$ est isomorphe au carquois dont l’ensemble des sommets est I, l’ensemble des flèches est $J'$, les applications origine et terme étant respectivement les applications $j\mapsto i_1(j)$ et $j\mapsto i_2(j)$. Le carquois $\mathsf{\Gamma}$ est connexe (IV, p. 406). En outre, cette description identifie Γ à un sous-carquois de $\mathsf{\Gamma}$. Observons aussi que pour tout flèche $j$ de $\mathsf{\Gamma}$, ou bien $j\in$ Fl($\widetilde{\Gamma}$), ou bien il existe $i\in I$ tel que $j= (i, i,A_i)$. Il s’ensuit que l’application $\pi_0(\Gamma )\rightarrow \pi_0(\mathsf{\Gamma})$ déduite de l’injection de Γ dans $\mathsf{\Gamma}$ est bijective, si bien que Γ est connexe.

Pour tout élément $i$ de I, choisissons un point $a(i)$ de $A_i$.

Pour tout élément $j= (i, i',V)$ de J, choisissons un point $b(j)$ dans V, un chemin $B_1(j)$ reliant $b(j)$ à $a(i)$ dans $A_i$ et un chemin $B_2(j)$

reliant$\overline{j}= (i', i,b(jV)$) àappartient à$a(i')$ dans A$J^{i'}$. Soitet l’on pose$j= (i, ib(',\overline{j}V)$) =un élément de$b(j)$, $B_1(j) = B\overline{J}_2$; alors$(\overline{j})$ et $B_2(j) = B_1(\overline{j})$. Pour $j\in J'\cup \overline{J'}$, les chemins $\overline{B_1(j)}$ et $B_2(j)$ dans Y sont juxtaposables. Posons

C’est un chemin qui relie $a(i_1(j))$ à $a(i_2(j))$ dans Y ; on a la relation $B(\overline{j}) = B(j)$.

Pour tout $j= (i, i',V)\in J'$, notons $p_{j,1}: V\rightarrow A_i$ et $p_{j,2}: V\rightarrow A_{i'}$ les injections canoniques ; notons aussi $\varphi_j:\pi_1(V, b(j))\rightarrow \pi_1(A_i, a(i))$ et $\psi_j:\pi_1(V, b(j))\rightarrow \pi_1(A_{i'}, a(i'))$ les homomorphismes de groupes définis par

et

pour $v\in \pi_1(V, b(j))$ (cf. IV, p. 407).

Fixons un élément $i_0$ de I, ainsi qu’un sous-carquois T dans le carquois Γ dont le graphe associé $\widetilde{T}$ est un arbre maximal du graphe $\widetilde{\Gamma}$.

Pour $i\in I$, soit $(i_0, j_1, i_1, . . . , j_n, i)$ l’unique chemin sans aller-retour reliant $i_0$ à $i$ dans l’arbre $\widetilde{T}$ et posons

c’est la classe d’un chemin reliant $a(i_0)$ à $a(i)$ dans Y. Notons $\alpha_i$ l’homomorphisme de $\pi_1(A_i, a(i))$ dans $\pi_1(Y, a(i))$ déduit de l’injection canonique et soit $\mu_i:\pi_1(A_i, a(i))\rightarrow \pi_1(Y, a(i_0))$ l’homomorphisme de groupes défini par

Soit enfin $\mu: F(J)\rightarrow \pi_1(Y, a(i_0))$ l’unique homomorphisme de groupes tel que l’on ait

pour tout $j\in J$. Il existe un unique homomorphisme de groupes

qui coïncide avec $\mu_i$ dans $\pi_1(A_i, a(i))$, pour tout $i\in$ I, et avec $\mu$ dans F(J).

Notons $K'$ l’ensemble des quadruplets $(i_1, i_2, i_3,U)$, où $i_1, i_2, i_3$ sont des éléments de I et où U est une composante connexe par arcs de $A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap A_{i_3}$. Pour tout élément $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ de $K'$ et tout couple $(s, t)$ d’éléments de $\{1,2,3\}$, on pose $j_{st}(k) = (i_s, i_t,V)$, où V est la composante connexe par arcs de $A_{i_s}\cap A_{i_t}$ qui contient U ; c’est un élément de $J'$.

Notons K le sous-ensemble de $K'$ formé des quadruplets $(i_1, i_2, i_3,U)$ tels que $i_1< i_2< i_3$. Pour tout élément $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ de K, choisissons un point $c(k)$ de U, ainsi que des chemins $C_{12}(k)$, $C_{23}(k)$ et $C_{13}(k)$, tels que $C_{st}(k)$ relie $c(k)$ à $b(j_{st}(k))$ dans $A_{i_s}\cap A_{i_t}$ pour $s, t\in \{1,2,3\}$ avec $s < t$.

Posons alors, pour $k\in K$,

(4) L$L^2_3((kk) = B) = B^2_2((jj^{12}_{23}((kk))))**\overline{CC^{1223}((kk))}**CC^{23}_{13}((kk))**BB^1_2((jj^{23}_{13}((kk))))$,.

Pour $s\in \{1,2,3\}$, on note $\lambda_s(k)$ la classe dans $\pi_1(A_{i_s}, a(i_s))$ du lacet $L_s(k)$.

($R_1$)$r_1(j) =j$ pour $j$ dans Fl(T);

($R_2$)$r_2(j, v) =\varphi_j(v)j\psi_j(v)^{-1}j^{-1}$

pour $j= (i, i',V)\in J$ et $v\in \pi_1(V, b(j))$ ;

($R_3$)$r_3(k) =\lambda_1(k)j_{12}(k)\lambda_2(k)j_{23}(k)\lambda_3(k)j_{13}(k)^{-1}$

pour $k\in K$.

Soit X l’espace topologique somme de la famille $(A_i)_{i\in I}$ et soit $f: X\rightarrow Y$ l’application déduite de la famille des injections canoniques de chaque $A_i$ dans Y. L’application $f$ satisfait à la propriété (VK) par hypothèse ; nous allons ainsi lui appliquer le th. 1 du n$^o1$. Nous reprenons donc les notations de ce n$^o$ et commençons par définir une donnée de van Kampen de l’application $f$.

Les composantes connexes par arcs de X sont les ensembles $X_i=$ $A_i\times \{i\}$ pour $i\in I$. On identifie ainsi $\pi_0(X)$ à l’ensemble I. Pour tout $i\in I$, notons $\mathsf{a}(i)$ le point $(a(i), i)$ de $X_i$.

Posons $Z = X\times_YX$. Les composantes connexes par arcs de Z sont les ensembles $Z_j= (V\times \{i\})\times_Y(V\times \{i'\})$, où $j= (i, i',V)$ parcourt $J'$. On identifie ainsi $\pi_0(Z)$ à l’ensemble $J'$. Soit $J_0$ l’ensemble des éléments de J de la forme $(i, i,A_i)$, de sorte que la famille $(J_0,J,J)$ est une partition de $J'$. Pour $i\in I$ et $j= (i, i,A_i)\in J_0$, posons $\mathsf{b}(j) = (\mathsf{a}(i),\mathsf{a}(i))$ et prenons pour $\beta_1(j)$ et $\beta_2(j)$ la classe du chemin constant en $\mathsf{a}(i)$. Pour $j= (i, i',V)\in J\cup \overline{J}$, notons $\mathsf{b}(j)$ le point $((b(j), i),(b(j), i'))$ de $Z_j$ et notons $\beta_1(j)$ et $\beta_2(j)$ les classes des chemins $t\mapsto (B_1(j)(t), i)$ et $t\mapsto (B_2(j)(t), i')$ dans X.

Posons $W = X\times_YX\times_YX$. Les composantes connexes par arcs de W sont les ensembles $W_k= (U\times \{i_1\})\times_Y(U\times \{i_2\})\times_Y(U\times \{i_3\})$, où $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ parcourt $K'$. On identifie ainsi $\pi_0(W)$ à l’ensemble $K'$.

Notons $K_0$ l’ensemble des éléments de $K'$ de la forme $k= (i, i, i,A_i)$, pour $i\in I$. Pour un tel élément $k\in K_0$, on pose $\mathsf{c}(k) = (\mathsf{a}(i),\mathsf{a}(i),\mathsf{a}(i))$ et on choisit pour $\gamma_{st}(k)$ la classe du chemin constant en $(\mathsf{a}(i),\mathsf{a}(i))$.

Notons $K_1$ l’ensemble des éléments de $K'$ de la forme $k$ = $(i_1, i_2, i_3,V)$ pour lesquels l’ensemble $\{i_1, i_2, i_3\}$ a deux éléments. Soit $k$ un élément de $K'$ de la forme $(i, i, i',V)$, de sorte que $j= (i, i',V)$ appartient à $J\cup \overline{J}$. On pose alors

et l’on prend pour $\gamma_{13}(k)$ et $\gamma_{23}(k)$ la classe du chemin constant en $\mathsf{b}(j)$. On définit de façon analogue $c(k),\gamma_{12}(k),\gamma_{13}(k),\gamma_{23}(k)$ pour tout élément $k$ de $K'$.

Pour tout élément $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ de K, posons

pour tout couple $(s, t)$ d’éléments distincts de $\{1,2,3\}$, prenons pour $\gamma_{st}(k)$ l’image par l’application $x\mapsto ((x, s),(x, t))$ de la classe du chemin $C_{st}(k)$ dans $A_{i_s(k)}\cap A_{i_t(k)}$.

Pour tout point $x= (x_1, x_2, x_3)$ de $X\times_YX\times_YX$ et toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_3$, posons $\sigma (x) = (x_{\sigma^{-1}(1)}, x_{\sigma^{-1}(2)}, x_{\sigma^{-1}(3)})$. On définit ainsi une opération du groupe $\mathfrak{S}_3$ sur W. Pour tout $k= (i_1, i_2, i_3,U)\in K'$ et toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_3$, posons de même $\sigma (k) = (i_{\sigma^{-1}(1)}, i_{\sigma^{-1}(2)}, i_{\sigma^{-1}(3)},U)$ ; on a

Soit $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ un élément de $K'$ tel que $i_1, i_2, i_3$ soient deux à deux distincts. Il existe une unique permutation $\sigma \in$ $\mathfrak{S}_3$ telle que $i_{\sigma^{-1}(1)}< i_{\sigma^{-1}(2)}< i_{\sigma^{-1}(3)}$, de sorte que $\sigma (k) =$ $(i_{\sigma^{-1}(1)}, i_{\sigma^{-1}(2)}, i_{\sigma^{-1}(3)},U)$ appartient à K. Pour $s\in \{1,2,3\}$, on pose alors $c_s(k) =c_{\sigma(s)}(\sigma (k))$ et $c(k) = (c_1(k), c_2(k), c_3(k))$, de sorte que $c(k) =\sigma^{-1}(c(\sigma (k)))$. Pour $(s, t)\in \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$, on définit $C_{st}(k) = C_{\sigma^{-1}(s)\sigma^{-1}(t)}(\sigma (k))$; c’est un chemin qui relie $c(k)$ à $b(j_{\sigma(s)\sigma(t)}(\sigma (k))) =b(j_{st}(k))$.

Notons $g$ le morphisme de carquois de Γ dans $\mathsf{\Gamma}$ qui, à un sommet $i\in I$ de Γ, associe le sommet $X_i= A_i\times \{i\}$ de $\mathsf{\Gamma}$ et, à une flèche $j= (i, i',V)\in J'$ de Γ, associe la flèche $Z_j= (V\times \{i\})\times_Y(V\times \{i'\})$ de $\mathsf{\Gamma}$. L’application Som($g$) est bijective ; l’application Fl($g$) est injective et le graphe Γ est connexe (IV, p. 410, lemme 1) et l’image par $g$ du sous-carquois T est un sous-carquois $\mathsf{T}$ de $\mathsf{\Gamma}$ dont le graphe associé est un arbre maximal du graphe $\widetilde{\mathsf{\Gamma }}$.

Les points $\mathsf{a}(i)$, pour $i\in I$, les point $\mathsf{b}(j)$, pour $j\in J'$, les points $\mathsf{c}(k)$, pour $k\in K'$, les classes de chemins $\beta_1(j)$ et $\beta_2(j)$, pour $j\in J'$, les classes de chemins $\gamma_{st}(k)$, pour $k\in K'$, le sous-carquois $g(T)$ de $\mathsf{\Gamma}$ et l’élément $i_0$ de I définissent une donnée de van Kampen de $f$.

Notons $\rho$ l’unique homomorphisme de groupes

qui induit l’isomorphisme de $\pi_1(X,\mathsf{a}(i))$ sur $\pi_1(A_i, a(i))$ déduit de l’identification de $A_i\times \{i\}$ et $A_i$, pour tout $i\in I$, et tel que l’on ait

$\rho (j) = 1$ pour $j\in J_0$

$\rho (j) =j,\rho (\overline{j}) =j^{-1}$ pour $j\in J$.

Soit $\mathsf{L}$ l’homomorphisme de groupes défini dans le th. 1 de IV, p. 408. Pour $j= (i, i,A_i)\in J_0$, on a $\mathsf{L}(j) = 1 =\mathsf{M}\circ \rho (j)$. Soit $j= (i, i',V)$ un élément de J ; on a $\mathsf{L}(j) = (\mathsf{M}\circ \rho )(j)$ par définition. Enfin, si $j=$ $(i, i',V)$ est un élément de $\overline{J},\overline{j}\in J$ et l’on vérifie que

Par conséquent, on a $\mathsf{M}\circ \rho =\mathsf{L}$.

L’homomorphisme $\mathsf{L}$ est surjectif (loc. cit.), donc l’homomorphisme $\mathsf{M}$ l’est aussi. Comme l’homomorphisme $\rho$ est surjectif, le noyau de $\mathsf{M}$ est le plus petit sous-groupe distingué de $(_i*_{\in I}\pi_1(A_i, a(i)))*F(J_1)$ qui contient les images par $\rho$ des éléments définis par les relations ($R_1$), ($R_2$)$, (R_3)$ du théorème 1 (IV, p. 408). La démonstration sera terminée une fois que nous aurons vérifié que ces images sont, outre les éléments définis par les relations ($R_1$)$, (R_2), (R_3)$ de la prop. 1, des éléments qui leur sont conjugués, ou qui sont conjugués à leurs inverses, ainsi que l’élément neutre.

Éléments $R_1$. — Une flèche de l’arbre orienté $\mathsf{T}$ est de la forme $Z_j$, avec $j= (i, i',V)\in J$ ; son image est l’élément $j$ de F(J).

Éléments $R_2$. — Soit $j= (i, i',V)\in J'$. Si $i=i'$, on a $\rho (\mathsf{r}_2(j, v)) = 1$ pour tout $v\in \pi_1(A_i,\mathsf{a}(i))$. Si $j\in J$, l’image de $\mathsf{r}_2(j, v)$ est l’élément $r_2(j, v) =\varphi_j(v)j\psi_j(v)^{-1}j^{-1}$, pour tout $v\in \pi_1(Z,\mathsf{b}(j))$. Dans le cas restant, on a $\overline{j}\in J$ et l’égalité

entraîne que $\rho (\mathsf{r}_2(j, v))$ est conjugué à $\rho (\mathsf{r}_2(j, v^{-1}))$.

Éléments $R_3$. — Soit $k= (i_1, i_2, i_3,U)$ un élément de $K'$.

Si $k\in K_0,i_1$ = $i_2$ = $i_3,\lambda_s(k)$ est la classe du chemin trivial pour tout $s\in \{1,2,3\},j_{st}(k)\in J_0$ pour tout couple $(s, t)\in$ $\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$. Alors, $\rho (\mathsf{r}_3(k))$ est l’élément neutre.

Supposons $k\in K_1$. Si $i_1=i_2$, alors $j= (i_1, i_3,U)\in J\cup \overline{J}$ et l’on a

dont l’image par $\rho$ est l’élément neutre. Les autres cas se traitent de même.

Supposons que $i_1, i_2, i_3$ soient deux à deux distincts. Si $i_1< i_2< i_3$, $k\in K$ et l’image de $\rho (\mathsf{r}_3(k))$ est l’élément $r_3(k)$.

Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_3$ la permutation qui applique 1 sur 2 et 2 sur 3. On a

On vérifie de même que l’on a $\lambda_2(\sigma (k)) =\lambda_1(k)$ et $\lambda_3(\sigma (k)) =\lambda_2(k)$. Par suite,

ce qui prouve que $\rho (\mathsf{r}_3(\sigma (k)))$ est conjugué à

Soit $\tau \in \mathfrak{S}_3$ la transposition de support $\{1,2\}$. On a

$\lambda_1(\tau (k)) =\lambda_2(k)^{-1},\lambda_2(\tau (k)) =\lambda_1(k)^{-1}$ et $\lambda_3(\tau (k)) =\lambda_3(k)^{-1}$. Les égalités

montrent que $\rho (\mathsf{r}_3(\tau (k)))$ est conjugué à l’inverse de

Comme le groupe $\mathfrak{S}_3$ est engendré par les permutations $\tau$ et $\sigma$, il s’ensuit que, pour tout $k\in K$ et tout $\sigma \in \mathfrak{S}_3,\rho (\mathsf{r}_3(\sigma (k)))$ est conjugué à $\rho (\mathsf{r}_3(k))$ ou à son inverse.

La proposition 1 est ainsi démontrée.