Notons $i_A$ l’injection canonique de A dans X$,i_U$ l’injection canonique de U dans X ; notons $j_A$ et $j_U$ les injections correspondantes de Cyl($i_A$) et Cyl($i_U$) dans $X\times \mathbf{I}$.

Il existe une application continue $r: X\times \mathbf{I}\rightarrow$ Cyl($i_U$) telle que $j_U\circ$ $r(x) =x$ pour tout point $x\in j_A$(Cyl($i_A$)).

Soit $U'$ un ouvert de $X'$ tel que $A\subset X\cap U'\subset U$. Par définition d’un espace normal (TG, IX, p. 41), il existe un voisinage ouvert $V'$ de A dans $X'$ tel que $A\subset V'\subset \overline{V'}\subset U'$ et une fonction continue $\varphi ': X'\rightarrow \mathbf{I}$ qui soit égale à 1 en tout point de A et à 0 en tout point de $\complement V'$. Posons $\varphi =\varphi '|X$ et $V = X\cap V'$. Notons aussi $\alpha : U\times \mathbf{I}\rightarrow$ Cyl($i_U$) et $\beta : X\rightarrow$ Cyl($i_U$) les applications canoniques (III, p. 238).

Soit $r$ l’application de $X\times \mathbf{I}$ dans Cyl($i_U$) donnée par

$\alpha (x,1-(1-t)\varphi (x))$ pour $(x, t)\in U\times \mathbf{I}$,

$\beta (x)$ sinon.

L’application $r$ est continue sur $U\times \mathbf{I}$. Pour tout point $(x, t)\in U\times \mathbf{I}$ tel que $x\notin V$, on a $\varphi (x) = 0$, d’où $r(x, t) =\alpha (x,1) =\beta (x)$. Par suite, les applications $r$ et $\beta \circ$ pr$_1$ coïncident sur $(X-V)\times \mathbf{I}$, ce qui entraîne que $r$ est continue sur ce sous-espace. Comme U et l’intérieur de X-V recouvrent X, l’application $r$ est continue.

Soit $y$ un point de Cyl($i_A$) ; posons $(x, t) =j_A(y)$. Si $x\in$ A, $\varphi (x) = 1$ et $r(x, t) =\alpha (x, t)$, d’où $j_U(r(x, t)) = (x, t)$. Sinon, $t= 1$ et l’on a $r(x, t) =\alpha (x,1)$ si $x\in U$ et $r(x, t) =\beta (x)$ sinon ; par suite, $j_U(r(x, t)) = (x, t)$ dans ce cas. Cela entraîne que $j_U\circ r$ applique tout point de $j_A$(Cyl($i_A$)) sur lui-même, d’où la proposition.

Posons $X'= X$ et soit $r: X\times \mathbf{I}\rightarrow$ Cyl($i_U$) l’application continue donnée par la prop. 1. Avec les notations introduites dans la démonstration de cette proposition, il existe une unique application continue F: Cyl($i_U$)$\rightarrow Z$ telle que $F(\alpha (x, t)) =\sigma (x, t)$ pour $(x, t)\in U\times \mathbf{I}$ et $F(\beta (x)) =f(x)$ pour $x\in$ X (III, p. 238, prop. 4). L’application $F\circ r: X\times \mathbf{I}\rightarrow$ Z est une homotopie ; son terme applique un point $x\in$ X sur $F(r(x,1)) = F(\beta (x)) =f(x)$. Si $(x, t)\in A\times \mathbf{I}$, $F(r(x, t)) = F(\alpha (x, t)) =\sigma (x, t)$, donc cette homotopie coïncide avec $\sigma$ sur $A\times \mathbf{I}$.

Soit F une application continue de X dans Z telle que $F|U =f$. Choisissons une homotopie $\sigma : A\times \mathbf{I}\rightarrow Z$ reliant $f'$ à $f$. D’après le cor. 1, il existe une homotopie $\widetilde{\sigma}: X\times \mathbf{I}\rightarrow Z$ de terme F qui prolonge $\sigma$. L’origine de $\widetilde{\sigma}$ est alors une application continue de X dans Z qui coïncide avec $f'$ sur A.

Puisque Z est homéotope à un point, l’application $g$ est homéotope à une application constante $f$. L’application $f$ se prolonge continûment à X ; l’assertion résulte donc du cor. 2.

Notons $i_A$ l’injection canonique de A dans X$,\alpha_A: A\times \mathbf{I}\rightarrow$ Cyl($i_A$) et $\beta_A: X\rightarrow$ Cyl($i_A$) les applications canoniques ainsi que $j_A:$ Cyl($i_A$)$\rightarrow$ $X\times \mathbf{I}$ l’injection canonique. Comme A est fermé dans X$,j_A$ définit un homéomorphisme de Cyl($i_A$) sur le sous-espace fermé $(A\times \mathbf{I})\cup (X\times \{1\})$ de $X\times \mathbf{I}$. Soit $\widetilde{\sigma}_0$ l’unique application de Cyl($i_A$) dans V telle que $\widetilde{\sigma}_0\circ \alpha_A=\sigma$ et $\widetilde{\sigma}_0\circ \beta_A=f$; elle est continue (III, p. 238, prop. 4).

Comme X est paracompact et que $\mathbf{I}$ est compact, l’espace $X\times \mathbf{I}$ est paracompact (TG, I, p. 70, prop. 17), donc normal (TG, IX, p. 49, prop. 4). Il existe donc une application continue $k: X\times \mathbf{I}\rightarrow \mathbf{R}^n$ telle que $k\circ j_A=\widetilde{\sigma}_0$ (TG, IX, p. 45, corollaire).

L’ensemble U des points $x\in$ X tels que $k(x, t)\in$ V pour tout $t\in \mathbf{I}$ est ouvert dans X (IV, p. 439, lemme 1). C’est donc un voisinage de A. D’après le corollaire 1, appliqué à l’application $f$ et à l’homotopie $k|U\times \mathbf{I}$, il existe une homotopie $\widetilde{\sigma}: X\times \mathbf{I}\rightarrow V$ d’origine $f$ qui coïncide avec $k$, donc avec $\sigma$, sur $A\times \mathbf{I}$.

La première projection pr$_1: Z\times K\rightarrow Z$ est propre (TG, I, p. 77, cor. 5), donc fermée. Par suite, $\complement U =$ pr$_1(\complement W)$ est fermé dans Z et U est ouvert.

Soient Y et Z des espaces topologiques ; soit $f: X\times \{1\} \times Y\rightarrow$ $X\times \{1\} \times Z$ un $X\times \{1\}$-morphisme et soit $g: U\times \mathbf{I}\times Y\rightarrow U\times \mathbf{I}\times Z$ un $U\times \mathbf{I}$-morphisme qui coïncide avec $f$ sur $U\times \{1\} \times Y$.

Il existe alors un $X\times \mathbf{I}$-morphisme $h: X\times \mathbf{I}\times Y\rightarrow X\times \mathbf{I}\times Z$ qui coïncide avec $f$ sur $X\times \{1\} \times Y$ et avec $g$ sur $A\times \mathbf{I}\times Y$.

En outre, si $f$ et $g$ sont des homéomorphismes, on peut choisir un homéomorphisme $h$ ayant les propriétés requises.

Soit $U'$ un voisinage ouvert de A dans $X'$ tel que $U'\cap X\subset U$. Comme l’espace $X'$ est normal, il existe un voisinage ouvert $V'$ de A dans $X'$ tel que $A\subset V'\subset \overline{V'}\subset U'$ (TG, IX, p. 41). Quitte à remplacer U par $\overline{V'}\cap X$, on peut ainsi supposer que U est fermé dans X. Reprenons alors les notations de la prop. 1 et de sa démonstration ; soit $r: X\times \mathbf{I}\rightarrow$ Cyl($i_U$) une application continue telle que $j_U\circ r(x) =x$ pour tout point $x\in j_A$(Cyl($i_A$)).

Posons aussi $f'=$ pr$_3\circ f$ et $g'=$ pr$_3\circ g$. Comme $f'$ et $g'$ coïncident sur $U\times \{1\} \times Y$, il existe une unique application

$\varphi :$ Cyl($i_U$)$\times Y\rightarrow$ Cyl($i_U$)$\times Z$

telle que $\varphi (\alpha (x, t), y) = (\alpha (x, t), g'(x, t, y))$ pour $(x, t, y)\in U\times \mathbf{I}\times Y$ et $\varphi (\beta (x), y) = (\beta (x), f'(x,1, y))$ pour $(x, y)\in X\times Y$. Comme U est fermé dans X, la surjection canonique $\pi$ de $(U\times \mathbf{I})\cup X$ dans Cyl($i_U$) est universellement stricte (III, p. 239, remarque 2). Comme l’application $\varphi \circ (\pi \times$ Id$_Y)$ est continue, l’application $\varphi$ est continue. C’est donc un morphisme de Cyl($i_U$)-espaces, et même un isomorphisme si $f$ et $g$ sont des homéomorphismes.

Soit alors $h: X\times \mathbf{I}\times Y\rightarrow X\times \mathbf{I}\times Z$ l’application $r^*(\varphi )$ déduite de $\varphi$ par le changement de base $r$. Elle est donnée par $h(x, t, y) =$ $(x, t$, pr$_2(\varphi (r(x, t), y)))$ pour $(x, t, y)\in X\times \mathbf{I}\times Y$. C’est un morphisme de $X\times \mathbf{I}$-espaces, et même un isomorphisme si $\varphi$ l’est. Pour $(x, t, y)\in$ $A\times \mathbf{I}\times Y$, on a $r(x, t) = (x, t)$, d’où

$h(x, t, y) = (x, t$, pr$_2(\varphi (x, t, y))) = (x, t, g'(x, t, y)) =g(x, t, y)$,

ce qui démontre que $h$ coïncide avec $g$ sur $A\times \mathbf{I}\times Y$. De même, pour $x\in X$ et $y\in Y$, on a $r(x,1) = (x,1)$, donc

$h(x,1, y) = (x,1$, pr$_2(\varphi (x,1, y))) = (x,1, f'(x,1, y)) =f(x,1, y)$

si bien que $h$ coïncide avec $f$ sur $X\times \{1\} \times Y$. Le corollaire est ainsi démontré.

Démontrons d’abord deux lemmes.

Soient $g_0: E_0\rightarrow B_0\times F_0$ et $g_1: E_1\rightarrow B_1\times F_1$ des trivialisations de $E_0$ et $E_1$ respectivement. Notons $g'_0$ et $g'_1$ les trivialisations du $B\times \{\beta \}$-espace fibré $\overset{-1}{p}(B\times \{\beta \})$ déduites de $g_0$ et $g_1$ par restriction. L’application $h=g'_0\circ (g'_1)^{-1}$ est un $B\times \{\beta \}$-isomorphisme de $B\times \{\beta \} \times F_1$ sur $B\times \{\beta \} \times F_0$. On définit une application continue $h'$ de $B\times F_1$ dans $F_0$ en posant $h'(a, y) =$ pr$_3\circ h(a, \beta , y)$ pour $(a, y)\in B\times F_1$. Pour $(a, t, y)\in B\times [\beta , \gamma ]\times F_1$, posons $H(a, t, y) = (a, t, h'(a, y))$. L’application H ainsi définie est un $(B\times [\beta , \gamma ])$-isomorphisme de $B\times [\beta , \gamma ]\times F_1$ sur $B\times [\beta , \gamma ]\times F_0$, et l’on a $g_0|\overset{-1}{p}(B\times \{\beta \}) = H\circ g_1|\overset{-1}{p}(B\times \{\beta \})$. Il existe donc une application continue $g: E\rightarrow B\times [\alpha , \gamma ]\times F_0$ telle que $g|E_0=g_0$ et $g|E_1= H\circ g_1$. L’application $g$ est un isomorphisme de $B\times [\alpha , \gamma ]$-espaces, donc E est trivialisable.

Soit $a$ un point de B; pour tout point $t$ de $\mathbf{I}$, il existe un voisinage ouvert $W_t$ de $t$ dans $\mathbf{I}$ et un voisinage $V_t$ de $a$ dans B tels que E soit trivialisable au-dessus de $V_t\times W_t$. Il existe alors un entier $n >0$ et, pour tout entier $i$ tel que 1 $\leqslant i\leqslant n$, un point $t_i$ de $\mathbf{I}$ tel que l’intervalle $[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}]$ soit contenu dans $W_{t_i}($III, p. 272, lemme 4). Posons $V =\cap_{1\leqslant i\leqslant n}V_{t_i}$. L’espace fibré E est trivialisable au-dessus de $V\times$ $[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}]$ pour tout entier $i$ tel que $1\leqslant i\leqslant n$. Le lemme 3 résulte alors du lemme 2 par récurrence sur $n$.

Démontrons maintenant la proposition. D’après le lemme 3, il existe un recouvrement ouvert $(U_j)_{j\in J}$ de B tel que, pour tout $j\in J$, E soit trivialisable au-dessus de $U_j\times \mathbf{I}$. Comme l’espace B est paracompact, on peut supposer le recouvrement $(U_j)_{j\in J}$ localement fini (TG, IX, p. 49) et choisir un recouvrement $(A_j)_{j\in J}$ de B où, pour tout $j\in J$, l’ensemble $A_j$ est fermé dans B et contenu dans $U_j$ (TG, IX, p. 49, prop. 4 et p. 48, cor. 1).

Pour toute partie ouverte U de B, notons $\mathscr{F}(U)$ l’ensemble des $U\times \mathbf{I}$-isomorphismes de $\overset{-1}{p}(U\times \mathbf{I})$ sur $\overset{-1}{p_{1}}(U)\times \mathbf{I}$ qui induisent l’application identique de $\overset{-1}{p}(U\times \{1\})$ sur $\overset{-1}{p_{1}}(U)\times \{1\}$. Pour tout couple $(V,U)$ d’ouverts de B tels que $U\subset V$, notons $r_{UV}:\mathscr{F}(V)\rightarrow \mathscr{F}(U)$ l’application qui, à un $(V\times \mathbf{I})$-isomorphisme $g:\overset{-1}{p}(V\times \mathbf{I})\rightarrow \overset{-1}{p_{0}}(V)\times \mathbf{I}$, associe le $(U\times \mathbf{I})$-isomorphisme déduit de $g$ par passage aux sous-espaces. Le couple $\mathscr{F}= ((\mathscr{F}(U)),(r_{UV}))$ est un faisceau sur B (I, p. 45, exemple 4). Pour démontrer la proposition, il suffit de démontrer que le faisceau $\mathscr{F}$ est mou (I, p. 64).

Soit $j\in J$, soit A une partie fermée de $A_j$, soit V un ensemble ouvert dans B tel que $A\subset V\subset U_j$ et soit $g$ un élément de $\mathscr{F}(V)$. Il existe un voisinage ouvert W de A tel que $\overline{W}\subset V$, car un espace paracompact est normal (TG, IX, p. 49, prop. 4). Nous allons démontrer qu’il existe un élément $g'$ de $\mathscr{F}(U_j)$ tel que $g'|W =g|W$. Le corollaire 2 (I, p. 65) de la prop. 6 entraîne alors que le faisceau $\mathscr{F}$ est mou.

Comme le $B\times \mathbf{I}$-espace E est trivialisable au-dessus de $U_j\times \mathbf{I}$, nous pouvons supposer que $\overset{-1}{p}(U_j\times \mathbf{I}) = U_j\times \mathbf{I}\times F$, où F est un espace topologique. L’élément $g$ de $\mathscr{F}(V)$ est alors un $V\times \mathbf{I}$-isomorphisme de $V\times \mathbf{I}\times F$ sur lui-même qui induit l’application identique de $V\times$ $\{1\}\times F$. Appliquons le cor. 5 de IV, p. 439, aux espaces $X'= X$, $X = U_j$, A = W, U = V, et Y = Z = F, à l’application $g: V\times \mathbf{I}\times F\rightarrow V\times \mathbf{I}\times F$ et à l’application identique de $U_j\times \{1\} \times F$. Il existe donc un $U_j\times \mathbf{I}$-isomorphisme $g'$ de $U_j\times \mathbf{I}\times F$ sur lui-même qui induit l’application identique de $U_j\times \{1\} \times F$ et qui coïncide avec $g$ sur $\overline{W}\times \mathbf{I}\times F$, et a fortiori sur $W\times \mathbf{I}\times F$. D’où la proposition.

Soit $\sigma : B'\times \mathbf{I}\rightarrow B$ une homotopie reliant $f_0$ à $f_1$ et notons $E'$ le $B'\times \mathbf{I}$-espace $\sigma^*E$ ; c’est un espace fibré localement trivial. Notons $i_0$ et $i_1$ les applications de $B'$ dans $B'\times \mathbf{I}$ données par $x\mapsto (x,0)$ et $x\mapsto (x,1)$. D’après le cor. 1, les $B'$-espaces fibrés $i^*_0E'$ et $i^*_1E'$ sont isomorphes. Comme $\sigma \circ i_0=f_0$, le $B'$-espace $i^*_0E'$ s’identifie à $f_0^*E$ ; de même, le $B'$-espace $i^*_1E'$ s’identifie à $f_1^*E$. Par suite, les $B'$-espaces fibrés $f_0^*E$ et $f_1^*E$ sont isomorphes, ce qu’il fallait démontrer.

Soit $(E', p')$ le $B'\times \mathbf{I}$-espace déduit de $(E, p)$ par changement de base par l’application $\sigma : B'\times \mathbf{I}\rightarrow B$. C’est un espace fibré localement trivial (I, p. 71, cor. 2) et l’application $s: B'\times \{0\} \rightarrow E'$ définie par $s((a,0)) = ((a,0),\widetilde{f}(a))$ pour $a\in B'$ est une section continue de $p'$ au-dessus de $B'\times \{0\}$. D’après la prop. 2, il existe une section continue $\widetilde{s}$ de $p'$ qui prolonge $s$. L’application $\widetilde{\sigma}=$ pr$_2\circ \widetilde{s}$ a la propriété requise.

Le faisceau $\mathscr{S}$ sur B des sections de M est isomorphe au faisceau sur B des isomorphismes d’espaces fibrés principaux de E dans $E'$.

Notons $p,p'$ et $q$ les projections des B-espaces E, $E'$ et M. Pour $(x, x')\in E\times_BE'$ et $f\in F$, notons $[x, x', f]$ la classe dans M de l’élément $((x, x'), f)\in (E\times_BE')\times F$. Notons $\mathscr{M}$ le faisceau sur B des isomorphismes d’espaces fibrés principaux de E dans $E'$; ses sections au-dessus d’un ouvert U de B sont les isomorphismes d’espaces fibrés principaux de $E_U$ dans $E'_U$.

Notons $e$ l’élément neutre de G. Soit U un ouvert de B et soit $\varphi : E_U\rightarrow E'_U$ un isomorphisme d’espaces fibrés principaux de groupe G et de base U. L’application de $E_U$ dans $(E\times_BE')\times^{G\times G}F$ définie par $x\mapsto [x, \varphi (x), e]$ est continue. Pour $g\in G$ et $x\in E_U$, elle applique $x\cdot g$ sur $[x\cdot g, \varphi (x\cdot g), e] = [x, \varphi (x), geg^{-1}] = [x, \varphi (x), e]$. Il existe donc une unique application continue $\alpha_U(\varphi ): U\rightarrow M$ telle que $\alpha_U(\varphi )(p(x)) = [x, \varphi (x), e]$ pour tout $x\in E_U$; on a $\alpha_U(\varphi )\in \mathscr{S}(U)$.

Il est immédiat que les applications $\alpha_U$ définissent un morphisme de faisceaux $\alpha$ de $\mathscr{M}$ dans $\mathscr{S}$.

Supposons tout d’abord que les espaces fibrés principaux E et $E'$ soient tous deux trivialisables ; choisissons-en des sections $i: B\rightarrow E$ et $i': B\rightarrow E'$. Il existe alors une unique application continue $\theta$ de M dans $B\times G$ telle que l’on ait

pour $b\in B,g\in G,g'\in G$ et $f\in$ F; c’est un isomorphisme de B-espaces. Soit $\varphi$ un isomorphisme d’espaces fibrés principaux de E dans $E'$; il existe une unique application continue $\gamma : B\rightarrow G$ telle que $\varphi (i(b)) =i'(b)\cdot \gamma (b)$ pour $b\in B$. L’image de $\varphi$ par l’application $\alpha_B$ est l’application $b\mapsto \theta^{-1}(b, \gamma (b))$ de B dans M. Ceci entraîne que $\alpha_B$ est une bijection.

Par conséquent, $\alpha_U$ est une bijection pour tout ouvert U de B tel que les espaces fibrés principaux $E_U$ et $E'_U$ soient trivialisables. D’après le corollaire 2 de I, p. 55, cela entraîne que $\alpha$ est un isomorphisme de faisceaux.

Soit F l’espace topologique G muni de l’opération à gauche du groupe $G\times G$ donnée par $(g, g')\cdot f=g'f g^{-1}$. Soit $(M, q)$ l’espace fibré localement trivial de base $B\times \mathbf{I}$ et de fibre-type F associé à l’espace fibré principal $E\times_{B\times\mathbf{I}}(E_1\times \mathbf{I})$ de groupe $G\times G$. Posons $M_1=\overset{-1}{q}(B\times \{1\})$ et $q_1=$ pr$_1\circ p|M_1$; le B-espace $(M_1, q_1)$ s’identifie à l’espace fibré localement trivial de fibre-type F associé à $E_1\times_BE_1$. D’après le lemme 4, où l’on prend pour espaces fibrés principaux E et $E'$ égaux à $E_1$, le B-espace $M_1$ possède une section. Comme les $B\times \mathbf{I}$-espaces $(M, q)$ et $(M_1\times \mathbf{I}, q_1\times$Id$_{\mathbf{I}})$ sont isomorphes (IV, p. 440, prop. 2), le $B\times \mathbf{I}$-espace $(M, q)$ possède une section, ce qui entraîne que les espaces fibrés principaux de groupe G, E et $E_1\times \mathbf{I}$, sont isomorphes.

Il existe un recouvrement ouvert $(U_j)_{j\in J}$ de B tel que, pour tout $j\in J$, l’espace fibré $E_{U_j}$ soit trivialisable. Comme l’espace B est paracompact, on peut supposer le recouvrement $(U_j)_{j\in J}$ localement fini (TG, IX, p. 49) et choisir un recouvrement $(A_j)_{j\in J}$ de B où, pour tout $j\in J$, l’ensemble $A_j$ est fermé dans B et contenu dans $U_j$ (TG, IX, p. 49, prop. 4 et p. 48, cor. 1).

D’après I, p. 65, cor. 2 de la prop. 6, il suffit, pour démontrer la proposition, d’établir l’assertion suivante : soit U une partie ouverte de B telle que l’espace fibré principal $(E_U, p_U)$ soit trivialisable, soit A une partie fermée de B contenue dans U, soit V un voisinage ouvert de A contenu dans U et soit $f$ un élément de $\mathscr{F}(V)$, il existe alors un voisinage ouvert W de A dans V et un élément $f'$ de $\mathscr{F}(U)$ tel que $r_{WU}(f') =r_{WV}(f)$. Démontrons cette assertion.

Soit W une partie ouverte de B telle que $A\subset W\subset \overline{W}\subset V$. Soit $s: U\rightarrow E_U$ une section de $(E_U, p_U)$. Appliquons le corollaire 3 (IV, p. 438) à l’espace B, au fermé $\overline{W}$ et au voisinage V de $\overline{W}$ et à l’application $g=f\circ (s|_V)$ de $E_V$ dans $E'$. Il existe donc une application continue $\widetilde{g}: B\rightarrow E'$ qui coïncide avec $g$ sur $\overline{W}$. Soit $h=\widetilde{g}|_U$. On a $h|_W=g|_W=f\circ (s|_W)$.

L’application $H: U\times G\rightarrow E'$ définie par $H(x, g) =h(x)\cdot g$ pour $(x, g)\in U\times G$ est continue et compatible avec les opérations de G dans $U\times G$ et $E'$. Posons $f'= H\circ s^{-1}$; c’est un élément de $\mathscr{F}(U)$. Pour tout $x\in W$, les applications $f$ et $f'$ coïncident au point $s(x)$, donc en tout point de $\overset{-1}{p}(x)$, car ce sont des morphismes d’espaces fibrés principaux. La proposition en résulte.