Ta ký hiệu $i_A$ là đơn ánh chính tắc của A vào X$,i_U$ là đơn ánh chính tắc của U vào X; ký hiệu $j_A$ và $j_U$ là các đơn ánh tương ứng của Cyl($i_A$) và Cyl($i_U$) vào $X\times \mathbf{I}$.

Tồn tại một ánh xạ liên tục $r: X\times \mathbf{I}\rightarrow$ Cyl($i_U$) sao cho $j_U\circ$ $r(x) =x$ với mọi điểm $x\in j_A$(Cyl($i_A$)).

Cho $U'$ là một tập hợp mở của $X'$ sao cho $A\subset X\cap U'\subset U$. Theo định nghĩa của một không gian chuẩn (TG, IX, p. 41), tồn tại một lân cận mở $V'$ của A trong $X'$ sao cho $A\subset V'\subset \overline{V'}\subset U'$ và một hàm liên tục $\varphi ': X'\rightarrow \mathbf{I}$ bằng 1 tại mọi điểm của A và bằng 0 tại mọi điểm của $\complement V'$. Đặt $\varphi =\varphi '|X$ và $V = X\cap V'$. Ta cũng ký hiệu $\alpha : U\times \mathbf{I}\rightarrow$ Cyl($i_U$) và $\beta : X\rightarrow$ Cyl($i_U$) là các ánh xạ chính tắc (III, p. 238).

Cho $r$ là ánh xạ từ $X\times \mathbf{I}$ vào Cyl($i_U$) được xác định bởi

$\alpha (x,1-(1-t)\varphi (x))$ với $(x, t)\in U\times \mathbf{I}$,

$\beta (x)$ trong các trường hợp khác.

Ánh xạ $r$ liên tục trên $U\times \mathbf{I}$. Với mọi điểm $(x, t)\in U\times \mathbf{I}$ sao cho $x\notin V$, ta có $\varphi (x) = 0$, do đó $r(x, t) =\alpha (x,1) =\beta (x)$. Suy ra các ánh xạ $r$ và $\beta \circ$ pr$_1$ trùng nhau trên $(X-V)\times \mathbf{I}$, điều này suy ra rằng $r$ liên tục trên không gian con này. Vì U và phần trong của X-V phủ X, ánh xạ $r$ liên tục.

Cho $y$ là một điểm của Cyl($i_A$) ; đặt $(x, t) =j_A(y)$. Nếu $x\in$ A, $\varphi (x) = 1$ và $r(x, t) =\alpha (x, t)$, do đó $j_U(r(x, t)) = (x, t)$. Ngược lại, $t= 1$ và ta có $r(x, t) =\alpha (x,1)$ nếu $x\in U$ và $r(x, t) =\beta (x)$ trong trường hợp ngược lại ; do đó $j_U(r(x, t)) = (x, t)$ trong trường hợp này. Điều này kéo theo rằng $j_U\circ r$ ánh xạ mọi điểm của $j_A$(Cyl($i_A$)) vào chính nó, do đó có mệnh đề.

Đặt $X'= X$ và cho $r: X\times \mathbf{I}\rightarrow$ Cyl($i_U$) là ánh xạ liên tục được cho bởi Mệnh đề 1. Với các ký hiệu đã đưa vào trong chứng minh của mệnh đề này, tồn tại một ánh xạ liên tục duy nhất F: Cyl($i_U$)$\rightarrow Z$ sao cho $F(\alpha (x, t)) =\sigma (x, t)$ với $(x, t)\in U\times \mathbf{I}$ và $F(\beta (x)) =f(x)$ với $x\in$ X (III, p. 238, Mệnh đề 4). Ánh xạ $F\circ r: X\times \mathbf{I}\rightarrow$ Z là một phép đồng luân ; số hạng của nó ánh xạ một điểm $x\in$ X vào $F(r(x,1)) = F(\beta (x)) =f(x)$. Nếu $(x, t)\in A\times \mathbf{I}$, $F(r(x, t)) = F(\alpha (x, t)) =\sigma (x, t)$, do đó phép đồng luân này trùng với $\sigma$ trên $A\times \mathbf{I}$.

Cho F là một ánh xạ liên tục từ X vào Z sao cho $F|U =f$. Ta chọn một phép đồng luân $\sigma : A\times \mathbf{I}\rightarrow Z$ nối $f'$ với $f$. Theo Hệ quả 1, tồn tại một phép đồng luân $\widetilde{\sigma}: X\times \mathbf{I}\rightarrow Z$ có số hạng F và mở rộng $\sigma$. Gốc của $\widetilde{\sigma}$ khi đó là một ánh xạ liên tục từ X vào Z trùng với $f'$ trên A.

Vì Z đồng luân với một điểm, ánh xạ $g$ đồng luân với một ánh xạ hằng $f$. Ánh xạ $f$ mở rộng liên tục đến X ; do đó mệnh đề suy ra từ Hệ quả 2.

Ta ký hiệu $i_A$ là đơn ánh chính tắc của A vào X, $\alpha_A: A\times \mathbf{I}\rightarrow$ Cyl($i_A$) và $\beta_A: X\rightarrow$ Cyl($i_A$) là các ánh xạ chính tắc, và cũng ký hiệu $j_A:$ Cyl($i_A$)$\rightarrow$ $X\times \mathbf{I}$ là đơn ánh chính tắc. Vì A đóng trong X, $j_A$ xác định một đồng phôi của Cyl($i_A$) lên không gian con đóng $(A\times \mathbf{I})\cup (X\times \{1\})$ của $X\times \mathbf{I}$. Gọi $\widetilde{\sigma}_0$ là ánh xạ duy nhất của Cyl($i_A$) vào V sao cho $\widetilde{\sigma}_0\circ \alpha_A=\sigma$ và $\widetilde{\sigma}_0\circ \beta_A=f$; nó liên tục (III, p. 238, mệnh đề 4).

Vì X là paracompact và $\mathbf{I}$ compact, không gian $X\times \mathbf{I}$ là paracompact (TG, I, p. 70, mệnh đề 17), do đó là chuẩn tắc (TG, IX, p. 49, mệnh đề 4). Do đó tồn tại một ánh xạ liên tục $k: X\times \mathbf{I}\rightarrow \mathbf{R}^n$ sao cho $k\circ j_A=\widetilde{\sigma}_0$ (TG, IX, p. 45, hệ quả).

Tập hợp U gồm các điểm $x\in$ X sao cho $k(x, t)\in$ V với mọi $t\in \mathbf{I}$ là mở trong X (IV, p. 439, bổ đề 1). Do đó nó là một lân cận của A. Theo hệ quả 1, áp dụng cho ánh xạ $f$ và phép đồng luân $k|U\times \mathbf{I}$, tồn tại một phép đồng luân $\widetilde{\sigma}: X\times \mathbf{I}\rightarrow V$ có ánh xạ ban đầu $f$ trùng với $k$, do đó với $\sigma$, trên $A\times \mathbf{I}$.

Phép chiếu thứ nhất pr$_1: Z\times K\rightarrow Z$ là thực sự (TG, I, p. 77, hệ quả 5), do đó là đóng. Do đó, $\complement U =$ pr$_1(\complement W)$ là đóng trong Z và U là mở.

Cho Y và Z là các không gian tôpô; cho $f: X\times \{1\} \times Y\rightarrow$ $X\times \{1\} \times Z$ là một $X\times \{1\}$-cấu xạ và cho $g: U\times \mathbf{I}\times Y\rightarrow U\times \mathbf{I}\times Z$ là một $U\times \mathbf{I}$-cấu xạ trùng với $f$ trên $U\times \{1\} \times Y$.

Khi đó tồn tại một $X\times \mathbf{I}$-cấu xạ $h: X\times \mathbf{I}\times Y\rightarrow X\times \mathbf{I}\times Z$ trùng với $f$ trên $X\times \{1\} \times Y$ và với $g$ trên $A\times \mathbf{I}\times Y$.

Hơn nữa, nếu $f$ và $g$ là các phép đồng phôi, ta có thể chọn một phép đồng phôi $h$ có các tính chất yêu cầu.

Cho $U'$ là một lân cận mở của A trong $X'$ sao cho $U'\cap X\subset U$. Vì không gian $X'$ là chuẩn tắc, tồn tại một lân cận mở $V'$ của A trong $X'$ sao cho $A\subset V'\subset \overline{V'}\subset U'$ (TG, IX, p. 41). Thay thế U bởi $\overline{V'}\cap X$ nếu cần, do đó ta có thể giả sử rằng U là đóng trong X. Khi đó, ta dùng lại ký hiệu của Mệnh đề 1 và chứng minh của nó; cho $r: X\times \mathbf{I}\rightarrow$ Cyl($i_U$) là một ánh xạ liên tục sao cho $j_U\circ r(x) =x$ với mọi điểm $x\in j_A$(Cyl($i_A$)).

Đặt thêm $f'=$ pr$_3\circ f$ và $g'=$ pr$_3\circ g$. Vì $f'$ và $g'$ trùng nhau trên $U\times \{1\} \times Y$, tồn tại một ánh xạ duy nhất

$\varphi :$ Cyl($i_U$)$\times Y\rightarrow$ Cyl($i_U$)$\times Z$

sao cho $\varphi (\alpha (x, t), y) = (\alpha (x, t), g'(x, t, y))$ với $(x, t, y)\in U\times \mathbf{I}\times Y$ và $\varphi (\beta (x), y) = (\beta (x), f'(x,1, y))$ với $(x, y)\in X\times Y$. Vì U là đóng trong X, toàn cấu chính tắc $\pi$ của $(U\times \mathbf{I})\cup X$ lên Cyl($i_U$) là ngặt phổ quát (III, p. 239, nhận xét 2). Vì ánh xạ $\varphi \circ (\pi \times$ Id$_Y)$ là liên tục, ánh xạ $\varphi$ là liên tục. Do đó nó là một cấu xạ của các không gian Cyl($i_U$), và thậm chí là một đẳng cấu nếu $f$ và $g$ là các phép đồng phôi.

Khi đó, cho $h: X\times \mathbf{I}\times Y\rightarrow X\times \mathbf{I}\times Z$ là ánh xạ $r^*(\varphi )$ suy ra từ $\varphi$ bởi phép thay đổi cơ sở $r$. Nó được cho bởi $h(x, t, y) =$ $(x, t$, pr$_2(\varphi (r(x, t), y)))$ với $(x, t, y)\in X\times \mathbf{I}\times Y$. Nó là một cấu xạ của các không gian $X\times \mathbf{I}$, và thậm chí là một đẳng cấu nếu $\varphi$ là một đẳng cấu. Với $(x, t, y)\in$ $A\times \mathbf{I}\times Y$, ta có $r(x, t) = (x, t)$, do đó

$h(x, t, y) = (x, t$, pr$_2(\varphi (x, t, y))) = (x, t, g'(x, t, y)) =g(x, t, y)$,

điều này chứng minh rằng $h$ trùng với $g$ trên $A\times \mathbf{I}\times Y$. Tương tự, với $x\in X$ và $y\in Y$, ta có $r(x,1) = (x,1)$, do đó

$h(x,1, y) = (x,1$, pr$_2(\varphi (x,1, y))) = (x,1, f'(x,1, y)) =f(x,1, y)$

suy ra $h$ trùng với $f$ trên $X\times \{1\} \times Y$. Hệ quả được chứng minh.

Trước hết ta chứng minh hai bổ đề.

Cho $g_0: E_0\rightarrow B_0\times F_0$ và $g_1: E_1\rightarrow B_1\times F_1$ là các phép tầm thường hóa của $E_0$ và $E_1$ tương ứng. Gọi $g'_0$ và $g'_1$ là các phép tầm thường hóa của không gian phân thớ $B\times \{\beta \}$ $\overset{-1}{p}(B\times \{\beta \})$ suy ra từ $g_0$ và $g_1$ bằng hạn chế. Ánh xạ $h=g'_0\circ (g'_1)^{-1}$ là một $B\times \{\beta \}$-đẳng cấu của $B\times \{\beta \} \times F_1$ lên $B\times \{\beta \} \times F_0$. Định nghĩa một ánh xạ liên tục $h'$ từ $B\times F_1$ vào $F_0$ bằng cách đặt $h'(a, y) =$ pr$_3\circ h(a, \beta , y)$ với $(a, y)\in B\times F_1$. Với $(a, t, y)\in B\times [\beta , \gamma ]\times F_1$, đặt $H(a, t, y) = (a, t, h'(a, y))$. Ánh xạ H thu được là một $(B\times [\beta , \gamma ])$-đẳng cấu của $B\times [\beta , \gamma ]\times F_1$ lên $B\times [\beta , \gamma ]\times F_0$, và ta có $g_0|\overset{-1}{p}(B\times \{\beta \}) = H\circ g_1|\overset{-1}{p}(B\times \{\beta \})$. Do đó tồn tại một ánh xạ liên tục $g: E\rightarrow B\times [\alpha , \gamma ]\times F_0$ sao cho $g|E_0=g_0$ và $g|E_1= H\circ g_1$. Ánh xạ $g$ là một đẳng cấu của các không gian $B\times [\alpha , \gamma ]$, do đó E là tầm thường hóa được.

Cho $a$ là một điểm của B; với mọi điểm $t$ của $\mathbf{I}$, tồn tại một lân cận mở $W_t$ của $t$ trong $\mathbf{I}$ và một lân cận $V_t$ của $a$ trong B sao cho E là tầm thường hóa được trên $V_t\times W_t$. Khi đó tồn tại một số nguyên $n >0$ và, với mọi số nguyên $i$ sao cho 1 $\leqslant i\leqslant n$, một điểm $t_i$ của $\mathbf{I}$ sao cho khoảng $[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}]$ được chứa trong $W_{t_i}($III, p. 272, bổ đề 4). Đặt $V =\cap_{1\leqslant i\leqslant n}V_{t_i}$. Không gian phân thớ E là tầm thường hóa được trên $V\times$ $[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}]$ với mọi số nguyên $i$ sao cho $1\leqslant i\leqslant n$. Bổ đề 3 khi đó suy ra từ Bổ đề 2 bằng quy nạp theo $n$.

Cho $\sigma : B'\times \mathbf{I}\rightarrow B$ là một phép đồng luân nối $f_0$ với $f_1$ và ký hiệu E' là không gian trên $B'\times \mathbf{I}$ $\sigma^*E$; đây là một không gian sợi địa phương tầm thường. Ký hiệu $i_0$ và $i_1$ là các ánh xạ từ $B'$ vào $B'\times \mathbf{I}$ được cho bởi $x\mapsto (x,0)$ và $x\mapsto (x,1)$. Theo Hệ quả 1, các không gian sợi trên $B'$ $i^*_0E'$ và $i^*_1E'$ là đẳng cấu. Vì $\sigma \circ i_0=f_0$, không gian trên $B'$ $i^*_0E'$ được đồng nhất với $f_0^*E$; tương tự, không gian trên $B'$ $i^*_1E'$ được đồng nhất với $f_1^*E$. Do đó, các không gian sợi trên $B'$ $f_0^*E$ và $f_1^*E$ là đẳng cấu, như cần phải chứng minh.

Cho $(E', p')$ là không gian $B'\times \mathbf{I}$ suy ra từ $(E, p)$ bằng phép đổi cơ sở bởi ánh xạ $\sigma : B'\times \mathbf{I}\rightarrow B$. Nó là một không gian thớ địa phương tầm thường (I, p. 71, Hệ quả 2), và ánh xạ $s: B'\times \{0\} \rightarrow E'$ được định nghĩa bởi $s((a,0)) = ((a,0),\widetilde{f}(a))$ với $a\in B'$ là một tiết diện liên tục của $p'$ trên $B'\times \{0\}$. Theo Mệnh đề 2, tồn tại một tiết diện liên tục $\widetilde{s}$ của $p'$ mở rộng $s$. Ánh xạ $\widetilde{\sigma}=$ pr$_2\circ \widetilde{s}$ có tính chất yêu cầu.

Bó $\mathscr{S}$ trên B của các tiết diện của M là đẳng cấu với bó trên B của các đẳng cấu của các không gian thớ chính từ E lên $E'$.

Ta ký hiệu các phép chiếu của các không gian B E, $E'$ và M lần lượt là $p,p'$ và $q$. Với $(x, x')\in E\times_BE'$ và $f\in F$, gọi $[x, x', f]$ là lớp trong M của phần tử $((x, x'), f)\in (E\times_BE')\times F$. Gọi $\mathscr{M}$ là bó trên B của các đẳng cấu của các không gian thớ chính từ E lên $E'$; các tiết diện của nó trên một tập mở U của B là các đẳng cấu của các không gian thớ chính từ $E_U$ lên $E'_U$.

Gọi $e$ là phần tử đơn vị của G. Cho U là một tập mở của B và cho $\varphi : E_U\rightarrow E'_U$ là một đẳng cấu của các không gian thớ chính với nhóm G và cơ sở U. Ánh xạ từ $E_U$ vào $(E\times_BE')\times^{G\times G}F$ được định nghĩa bởi $x\mapsto [x, \varphi (x), e]$ là liên tục. Với $g\in G$ và $x\in E_U$, nó gửi $x\cdot g$ vào $[x\cdot g, \varphi (x\cdot g), e] = [x, \varphi (x), geg^{-1}] = [x, \varphi (x), e]$. Do đó tồn tại một ánh xạ liên tục duy nhất $\alpha_U(\varphi ): U\rightarrow M$ sao cho $\alpha_U(\varphi )(p(x)) = [x, \varphi (x), e]$ với mọi $x\in E_U$; ta có $\alpha_U(\varphi )\in \mathscr{S}(U)$.

Hiển nhiên rằng các ánh xạ $\alpha_U$ xác định một cấu xạ của các bó $\alpha$ từ $\mathscr{M}$ vào $\mathscr{S}$.

Trước hết, giả sử rằng các không gian thớ chính E và $E'$ đều tầm thường hóa được; chọn các tiết diện $i: B\rightarrow E$ và $i': B\rightarrow E'$ của chúng. Khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục duy nhất $\theta$ từ M vào $B\times G$ sao cho

với $b\in B,g\in G,g'\in G$ và $f\in$ F; đó là một đẳng cấu của các không gian B. Cho $\varphi$ là một đẳng cấu của các không gian sợi chính từ E lên $E'$; tồn tại một ánh xạ liên tục duy nhất $\gamma : B\rightarrow G$ sao cho $\varphi (i(b)) =i'(b)\cdot \gamma (b)$ với $b\in B$. Ảnh của $\varphi$ qua ánh xạ $\alpha_B$ là ánh xạ $b\mapsto \theta^{-1}(b, \gamma (b))$ từ B vào M. Điều này suy ra rằng $\alpha_B$ là một song ánh.

Do đó, $\alpha_U$ là một song ánh với mọi tập mở U của B sao cho các không gian sợi chính $E_U$ và $E'_U$ là tầm thường hóa được. Theo hệ quả 2 của I, p. 55, điều này suy ra rằng $\alpha$ là một đẳng cấu của các bó.

Cho F là không gian tôpô G được trang bị phép toán trái của nhóm $G\times G$ cho bởi $(g, g')\cdot f=g'f g^{-1}$. Cho $(M, q)$ là không gian sợi địa phương tầm thường có cơ sở $B\times \mathbf{I}$ và kiểu sợi F liên kết với không gian sợi chính $E\times_{B\times\mathbf{I}}(E_1\times \mathbf{I})$ của nhóm $G\times G$. Đặt $M_1=\overset{-1}{q}(B\times \{1\})$ và $q_1=$ pr$_1\circ p|M_1$; không gian B $(M_1, q_1)$ được đồng nhất với không gian sợi địa phương tầm thường có kiểu sợi F liên kết với $E_1\times_BE_1$. Theo bổ đề 4, trong đó lấy các không gian sợi chính E và $E'$ đều bằng $E_1$, không gian B $M_1$ có một tiết diện. Vì các không gian $B\times \mathbf{I}$ $(M, q)$ và $(M_1\times \mathbf{I}, q_1\times$Id$_{\mathbf{I}})$ là đẳng cấu (IV, p. 440, prop. 2), không gian $B\times \mathbf{I}$ $(M, q)$ có một tiết diện, điều này suy ra rằng các không gian sợi chính của nhóm G, E và $E_1\times \mathbf{I}$, là đẳng cấu.

Tồn tại một phủ mở $(U_j)_{j\in J}$ của B sao cho, với mọi $j\in J$, không gian thớ $E_{U_j}$ là khả quy về tầm thường. Vì không gian B là paracompact, ta có thể giả sử rằng phủ $(U_j)_{j\in J}$ là hữu hạn địa phương (TG, IX, p. 49) và chọn một phủ $(A_j)_{j\in J}$ của B trong đó, với mọi $j\in J$, tập hợp $A_j$ là đóng trong B và được chứa trong $U_j$ (TG, IX, p. 49, mệnh đề 4 và p. 48, hệ quả 1).

Theo I, p. 65, hệ quả 2 của mệnh đề 6, để chứng minh mệnh đề, chỉ cần thiết lập mệnh đề sau: cho U là một tập con mở của B sao cho không gian thớ chính $(E_U, p_U)$ là khả quy về tầm thường, cho A là một tập con đóng của B được chứa trong U, cho V là một lân cận mở của A được chứa trong U, và cho $f$ là một phần tử của $\mathscr{F}(V)$; khi đó tồn tại một lân cận mở W của A trong V và một phần tử $f'$ của $\mathscr{F}(U)$ sao cho $r_{WU}(f') =r_{WV}(f)$. Ta hãy chứng minh mệnh đề này.

Cho W là một tập con mở của B sao cho $A\subset W\subset \overline{W}\subset V$. Cho $s: U\rightarrow E_U$ là một tiết diện của $(E_U, p_U)$. Áp dụng Hệ quả 3 (IV, p. 438) cho không gian B, tập con đóng $\overline{W}$ và lân cận V của $\overline{W}$, và cho ánh xạ $g=f\circ (s|_V)$ từ $E_V$ vào $E'$. Khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục $\widetilde{g}: B\rightarrow E'$ trùng với $g$ trên $\overline{W}$. Đặt $h=\widetilde{g}|_U$. Ta có $h|_W=g|_W=f\circ (s|_W)$.

Ánh xạ $H: U\times G\rightarrow E'$ được xác định bởi $H(x, g) =h(x)\cdot g$ với $(x, g)\in U\times G$ là liên tục và tương thích với các phép toán của G trong $U\times G$ và $E'$. Đặt $f'= H\circ s^{-1}$; đây là một phần tử của $\mathscr{F}(U)$. Với mọi $x\in W$, các ánh xạ $f$ và $f'$ trùng nhau tại điểm $s(x)$, do đó tại mọi điểm của $\overset{-1}{p}(x)$, vì chúng là các đồng cấu của các không gian thớ chính. Mệnh đề được suy ra.

Cho B là một không gian tôpô paracompact.

a) Mọi không gian thớ chính với nhóm G và cơ sở B đều đẳng cấu với một không gian thớ chính có dạng $f^*E_u$, trong đó $f: B\rightarrow B_u$ là một ánh xạ liên tục.

b) Cho $f_0$ và $f_1$ là các ánh xạ liên tục từ B vào $B_u$. Để $f_0^*E_u$ và $f_1^*E_u$ là các không gian thớ chính đẳng cấu với nhóm G và cơ sở B, điều kiện cần và đủ là các ánh xạ $f_0$ và $f_1$ đồng luân.

Nói cách khác, tồn tại một ánh xạ từ $[B,B_u]$ vào P(B; G) gán cho lớp đồng luân của một ánh xạ liên tục $f$ từ B vào $B_u$ lớp đẳng cấu của không gian thớ chính $f^*E_u$. Ánh xạ này là song ánh.

Cho E là một không gian thớ chính với nhóm G và cơ sở B. Theo Mệnh đề 4, bó $\mathscr{F}$ trên B của các đồng cấu của các không gian thớ chính của E vào $E_u$ là mềm. Do đó $\mathscr{F}(B)$ không rỗng, do đó a).

Cho $f_0$ và $f_1$ là các ánh xạ liên tục từ B vào $B_u$. Nếu các ánh xạ $f_0$ và $f_1$ đồng luân, thì các không gian sợi chính $f_0^*E_u$ và $f_1^*E_u$ đẳng cấu (IV, p. 445, hệ quả 2). Ta hãy chứng minh đảo lại. Với $\alpha \in \{0,1\}$, ký hiệu $E_{\alpha}$ là không gian sợi chính $B_u$ $f_{\alpha}^*E_u$, $g_{\alpha}: E_{\alpha}\rightarrow E_u$ là phép chiếu thứ nhất và $p_{\alpha}: E_{\alpha}\rightarrow B$ là phép chiếu thứ hai. Cho $i: E_0\rightarrow E_1$ là một đẳng cấu các không gian sợi chính. Cho $p$ là ánh xạ $p_0\times$ Id$_{\mathbf{I}}: E_0\times \mathbf{I}\rightarrow B\times \mathbf{I}$.

Vì không gian $B\times \mathbf{I}$ là paracompact (TG, IX, p. 70, mệnh đề 17), bó $\mathscr{G}$ trên $B\times \mathbf{I}$ gồm các tựa cấu của các không gian sợi chính từ $E_0\times \mathbf{I}$ vào $E_u$ là mềm (IV, p. 446, mệnh đề 4). Đặt $A = B\times \{0,1\}$, $U = B\times ([0,\frac{1}{2}[\cup ]\frac{1}{2},1])$, và định nghĩa một phần tử $g$ của $\mathscr{G}(U)$ bằng cách đặt

$g_0(x)$ với $(x, t)\in E_0\times [0,^1[$,

$g(x, t) =$ 2

$g_1\circ i(x)$ với $(x, t)\in E_0\times ]\frac{1}{2},1]$.

Vì bó $\mathscr{G}$ là mềm, tồn tại một phần tử $h\in \mathscr{G}(B\times \mathbf{I})$ và một lân cận mở V của A trong U sao cho $h|V =g|V$; một phần tử như vậy là một ánh xạ liên tục $H: E_0\times \mathbf{I}\rightarrow E_u$, tương thích với các phép toán của G và sao cho $H(x,0) =g_0(x)$, $H(x,1) =g_1(i(x))$ với mọi $x\in E_0$. Khi đó tồn tại một ánh xạ $h': B\times \mathbf{I}\rightarrow B_u$ sao cho $h'(p_0(x), t) =p_u(H(x, t))$ với $x\in E_0$ và $t\in \mathbf{I}$; ánh xạ này liên tục, và nó là một đồng luân nối $f_0$ với $f_1$.