Exercice 1, § 5

Soit A une partie fermée et discrète de $\mathbf{R}^2$.

a) Pour $R>0$, soit $D_R$ l’ensemble des $z\in \mathbf{C}$ tels que $|z|<R$; montrer que le groupe fondamental de $D_R-(A\cap D_R)$ est isomorphe au groupe libre sur $A\cap D_R$.

b) Démontrer qu’il existe un homéomorphisme $f$ de $\mathbf{R}^2$ dans lui-même tel que $f(A)\subset \mathbf{N}\times \{0\}$.

c) Montrer que le groupe fondamental de $\mathbf{R}^2-$ A est isomorphe à F(A).