Bài tập 10, § 5

Cho W là đường tròn Warsaw, được định nghĩa trong Bài tập 1, IV, p. 455, mà ta nhắc lại các ký hiệu của nó.

a) Cho R là quan hệ tương đương trong W mà các lớp duy nhất không rút gọn thành một phần tử duy nhất là B và S; cho $p: W\rightarrow W/R$ là toàn cấu chính tắc. Chứng minh rằng không gian thương $W/R$ là đồng luân, nhưng không đồng phôi, với đường tròn $\mathbf{S}_1$. Chứng minh rằng đồng cấu $p_*$ không toàn ánh.

b) Cho $R'$ là quan hệ tương đương trong W mà $B\cup S$ là lớp tương đương duy nhất không rút gọn thành một phần tử duy nhất; cho $p': W\rightarrow W/R'$ là toàn cấu chính tắc. Chứng minh rằng không gian $W/R'$ là đồng phôi với $\mathbf{S}_1$, rằng đồng cấu $p_*$ không toàn ánh, nhưng các lớp tương đương của $R'$ là liên thông.