Exercice 10, § 5

Soit W le cercle de Varsovie, défini dans l’exercice 1, IV, p. 455, dont on reprend les notations.

a) Soit R la relation d’équivalence dans W dont les seules classes non réduites à un seul élément sont B et S ; soit $p: W\rightarrow W/R$ la surjection canonique. Démontrer que l’espace quotient $W/R$ est homéotope, mais pas homéomorphe, au cercle $\mathbf{S}_1$. Démontrer que l’homomorphisme $p_*$ n’est pas surjectif.

b) Soit $R'$ la relation d’équivalence dans W dont $B\cup S$ est la seule classe d’équivalence non réduite à un élément ; soit $p': W\rightarrow W/R'$ la surjection canonique. Démontrer que l’espace $W/R'$ est homéomorphe à $\mathbf{S}_1$, que l’homomorphisme $p_*$ n’est pas surjectif, mais que les classes d’équivalences de $R'$ sont connexes.