Bài tập 11, § 5

Cho $X$ là một không gian tôpô liên thông bằng đường và cho $f: X\rightarrow X$ là một đồng phôi. Gọi T là không gian thương của $X\times \mathbf{I}$ theo quan hệ tương đương nhỏ nhất sao cho các điểm $(x,0)$ và $(f(x),1)$ là tương đương, với mọi $x\in X$. Ta ký hiệu bởi $p: X\times \mathbf{I}\rightarrow T$ ánh xạ chính tắc; ta ký hiệu bởi $j: X\rightarrow T$ ánh xạ được cho bởi $x\mapsto p(x,1/2)$. Cho $a$ là một điểm của X, cho $c\in \Lambda_{f(a),a}(X)$ là một đường đi có gốc $f(a)$ và có số hạng $a$, và đặt $\gamma = [c]$.

a) Chứng minh rằng ánh xạ từ $\mathbf{I}$ vào T được cho bởi $t\mapsto p(a,\frac{1}{2}-t)$ với $t\in [0,\frac{1}{2}]$ và $t\mapsto p(c(2t-1),\frac{3}{2}-t)$ với $t\in ]\frac{1}{2},1]$ là một vòng tại $j(a)$ trong T. Ta ký hiệu lớp của nó bởi $\delta$.

b) Gọi $\mathsf{S}$ là đồng cấu nhóm duy nhất từ $\pi_1(X, a)*\mathbf{Z}$ vào $\pi_1(T, j(a))$ biến một lớp $v\in \pi_1(X, a)$ thành $j_*(v)$ và phần tử $t= 1$ của $\mathbf{Z}$ thành lớp $\delta$. Chứng minh rằng đồng cấu $\mathsf{S}$ là toàn ánh và hạt nhân của nó là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất chứa các phần tử $vt(\gamma^{-1}f_*(v)\gamma )^{-1}t^{-1}$, với $v\in \pi_1(X, a)$.

c) Với $v\in \pi_1(X, a)$, đặt $\varphi (v) =\gamma^{-1}f_*(v)\gamma$; chứng minh rằng $\varphi$ là một tự đẳng cấu của nhóm $\pi_1(X, a)$. Gọi $\varphi :\mathbf{Z}\rightarrow$ Aut($\pi_1(X, a)$) là đồng cấu nhóm duy nhất biến 1 thành $\varphi$. Xây dựng một đẳng cấu của nhóm $\pi_1(T, j(a))$ lên tích nửa trực tiếp ngoài của $\mathbf{Z}$ bởi $\pi_1(X, a)$ đối với $\varphi$.