Exercice 11, § 5

Soit X un espace topologique connexe par arcs et soit $f: X\rightarrow X$ un homéomorphisme. Soit T l’espace quotient de $X\times \mathbf{I}$ par la relation d’équivalence la plus fine pour laquelle les points $(x,0)$ et $(f(x),1)$ sont équivalents, pour tout $x\in X$. On note $p: X\times \mathbf{I}\rightarrow T$ l’application canonique ; on note $j: X\rightarrow T$ l’application donnée par $x\mapsto p(x,1/2)$. Soit $a$ un point de X, soit $c\in \Lambda_{f(a),a}(X)$ un chemin d’origine $f(a)$ et de terme $a$, et soit $\gamma = [c]$.

a) Démontrer que l’application de $\mathbf{I}$ dans T donnée par $t\mapsto p(a,\frac{1}{2}-t)$ pour $t\in [0,\frac{1}{2}]$ et $t\mapsto p(c(2t-1),\frac{3}{2}-t)$ pour $t\in ]\frac{1}{2},1]$ est un lacet en $j(a)$ dans T. On note $\delta$ sa classe.

b) Soit $\mathsf{S}$ l’unique homomorphisme de groupes de $\pi_1(X, a)*\mathbf{Z}$ dans $\pi_1(T, j(a))$ qui applique une classe $v\in \pi_1(X, a)$ sur $j_*(v)$ et l’élément $t= 1$ de $\mathbf{Z}$ sur la classe $\delta$. Démontrer que l’homomorphisme $\mathsf{S}$ est surjectif et que son noyau est le plus petit sous-groupe distingué qui contient les éléments $vt(\gamma^{-1}f_*(v)\gamma )^{-1}t^{-1}$, pour $v\in \pi_1(X, a)$.

c) Pour $v\in \pi_1(X, a)$, on pose $\varphi (v) =\gamma^{-1}f_*(v)\gamma$; démontrer que $\varphi$ est un automorphisme du groupe $\pi_1(X, a)$. Soit $\varphi :\mathbf{Z}\rightarrow$ Aut($\pi_1(X, a)$) l’unique homomorphisme de groupes qui applique 1 sur $\varphi$. Construire un isomorphisme du groupe $\pi_1(T, j(a))$ sur le produit semi-direct externe de $\mathbf{Z}$ par $\pi_1(X, a)$ relativement à $\varphi$.