Bài tập 14, § 5

Cho P là một mặt phẳng của $\mathbf{R}^3$, cho C là một đường tròn được chứa trong P và cho D là một đường thẳng của $\mathbf{R}^3$. Đặt $U =\mathbf{R}^3-(C\cup D)$ và cho $a$ là một điểm của U.

(a) Chứng minh rằng U liên thông bằng cung.

(b) Giả sử rằng D không cắt bao lồi của C. Chứng minh rằng $\pi_1(U, a)$ là một nhóm tự do với hai phần tử sinh.

(c) Giả sử rằng D không cắt C nhưng cắt bao lồi của C. Chứng minh rằng $\pi_1(U, a)$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}^2$.

(d) Giả sử rằng D cắt C tại một điểm duy nhất. Chứng minh rằng $\pi_1(U, a)$ là một nhóm tự do với hai phần tử sinh.

(e) Giả sử rằng D cắt C tại hai điểm. Chứng minh rằng $\pi_1(U, a)$ là một nhóm tự do với ba phần tử sinh.