Exercice 14, § 5

Soit P un plan de $\mathbf{R}^3$, soit C un cercle contenu dans P et soit D une droite de $\mathbf{R}^3$. Soit $U =\mathbf{R}^3-(C\cup D)$ et soit $a$ un point de U.

a) Démontrer que U est connexe par arcs.

b) On suppose que D ne rencontre pas l’enveloppe convexe de C. Démontrer que $\pi_1(U, a)$ est un groupe libre à deux générateurs.

c) On suppose que D ne rencontre pas C mais qu’elle rencontre l’enveloppe convexe de C. Démontrer que $\pi_1(U, a)$ est isomorphe à $\mathbf{Z}^2$. d) On suppose que D rencontre C en un unique point. Démontrer que $\pi_1(U, a)$ est un groupe libre à deux générateurs.

e) On suppose que D rencontre C en deux points. Démontrer que $\pi_1(U, a)$ est un groupe libre à trois générateurs.