Bài tập 15, § 5

Một không gian tôpô X được gọi là có tính chất Phragmén-Brouwer nếu nó liên thông và nếu, với mọi cặp $(A,B)$ các tập con đóng rời nhau của X sao cho X-A và X-B liên thông, thì $X-(A\cup B)$ liên thông.

a) Cho X là một không gian tôpô liên thông địa phương có tính chất Phragmén-Brouwer. Cho $(A,B)$ là một cặp các tập con đóng rời nhau của X, cho $(a, b)$ là một cặp điểm của $X-(A\cup B)$ thuộc cùng một thành phần liên thông của X-A (tương ứng của X-B). Chứng minh rằng $a$ và $b$ thuộc cùng một thành phần liên thông của $X-(A\cup B)$.

b) Cho X là một không gian tôpô liên thông và liên thông đường địa phương không có tính chất Phragmén-Brouwer. Chứng minh rằng, với mọi điểm $x\in X$, tồn tại một đồng cấu toàn ánh từ $\pi_1(X, x)$ lên $\mathbf{Z}$. c) Cho X là một không gian tôpô liên thông và liên thông đường địa phương đơn liên theo các cung. Chứng minh rằng X có tính chất Phragmén-Brouwer.

d) Cho X là một không gian tôpô tách được và liên thông địa phương sao cho, với mọi điểm $x\in X$, không gian X$-\{x\}$ có tính chất Phragmén-Brouwer. Cho A là một tập con của X đồng phôi với $[0,1]$; chứng minh rằng X-A liên thông. (Gọi $c:\mathbf{I}\rightarrow A$ là một đồng phôi. Lập luận phản chứng và xây dựng một dãy $(J_n)$ sao cho, với mọi $n,J_n$ là một khoảng của $\mathbf{I}$ có độ dài $2^{-n}$, được chứa trong $J_{n-1}$ nếu $n\geqslant 1$, sao cho X $-c(J_n)$ không liên thông; gọi $x$ là điểm duy nhất của X chung cho tất cả các tập hợp $c(J_n)$. Khi đó chứng minh rằng X $-\{x\}$ không liên thông.)

e) Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 1$ và cho A là một tập con của $\mathbf{S}_n$ đồng phôi với $[0,1]$. Chứng minh rằng $\mathbf{S}_n-$ A liên thông.