Exercice 15, § 5

On dit qu’un espace topologique X possède la propriété de Phragmén-Brouwer s’il est connexe et si, pour tout couple $(A,B)$ de parties fermées de X, disjointes, telles que X-A et X-B soient connexes, alors $X-(A\cup B)$ est connexe.

a) Soit X un espace topologique localement connexe qui possède la propriété de Phragmén-Brouwer. Soit $(A,B)$ un couple de parties fermées de X, disjointes, soit $(a, b)$ un couple de points de $X-(A\cup B)$ qui appartiennent à une même composante connexe de X-A (resp. de X-B). Démontrer que $a$ et $b$ appartiennent à une même composante connexe de $X-(A\cup B)$.

b) Soit X un espace topologique connexe et localement connexe par arcs qui ne possède pas la propriété de Phragmén-Brouwer. Démontrer que, pour tout point $x\in X$, il existe un homomorphisme surjectif de $\pi_1(X, x)$ dans $\mathbf{Z}$. c) Soit X un espace topologique connexe et localement connexe par arcs qui est simplement connexe par arcs. Démontrer que X possède la propriété de Phragmén-Brouwer.

d) Soit X un espace topologique séparé et localement connexe tel que, pour tout point $x\in X$, l’espace X$-\{x\}$ possède la propriété de Phragmén-Brouwer. Soit A une partie de X qui est homéomorphe à $[0,1]$; démontrer que X-A est connexe. (Soit $c:\mathbf{I}\rightarrow A$ un homéomorphisme. Raisonner par l’absurde et construire une suite $(J_n)$ où, pour tout $n,J_n$ est un intervalle de $\mathbf{I}$ de longueur $2^{-n}$, contenu dans $J_{n-1}$ si $n\geqslant 1$, tel que X $-c(J_n)$ ne soit pas connexe ; soit $x$ l’unique point de X commun à tous les ensembles $c(J_n)$. Démontrer alors que X $-\{x\}$ n’est pas connexe.)

e) Soit $n$ un entier $\geqslant 1$ et soit A une partie de $\mathbf{S}_n$ qui est homéomorphe à $[0,1]$. Démontrer que $\mathbf{S}_n-$ A est connexe.