Bài tập 16, § 5

Cho A là một tập con của $\mathbf{S}_2$ đồng phôi với $\mathbf{S}_1$. Cho $a$ và $b$ là các điểm phân biệt của A, ký hiệu $A'$ và $A''$ là các thành phần liên thông của A$-\{a, b\}$ và đặt $X =\mathbf{S}_2-\{a, b\},U = X-A'$ và $V = X-A''$.

(a) Chứng minh rằng U và V liên thông. (Sử dụng Bài tập 15.)

(b) Chứng minh rằng, với mọi điểm $x\in U$, đồng cấu của $\pi_1(U, x)$ vào $\pi_1(X, x)$ cảm sinh bởi phép nhúng của U vào X là tầm thường.

(c) Chứng minh rằng $\mathbf{S}_2-$ A có đúng hai thành phần liên thông và rằng biên của chúng bằng A. (d) Cho S là một tập con của $\mathbf{R}^2$ đồng phôi với $\mathbf{S}_1$; chứng minh rằng $\mathbf{R}^2-$ S có đúng hai thành phần liên thông và rằng biên của chúng bằng S (định lý Jordan).