Exercice 16, § 5

Soit A une partie de $\mathbf{S}_2$ qui est homéomorphe à $\mathbf{S}_1$. Soient $a$ et $b$ des points distincts de A, on note $A'$ et $A''$ les composantes connexes de A$-\{a, b\}$ et l’on pose $X =\mathbf{S}_2-\{a, b\},U = X-A'$ et $V = X-A''$.

a) Démontrer que U et V sont connexes. (Utiliser l’exercice 15.)

b) Démontrer que, pour tout point $x\in U$, l’homomorphisme de $\pi_1(U, x)$ dans $\pi_1(X, x)$ déduit de l’inclusion de U dans X est trivial.

c) Démontrer que $\mathbf{S}_2-$ A possède exactement deux composantes connexes et que leur frontière est égale à A. d) Soit S une partie de $\mathbf{R}^2$ qui est homéomorphe à $\mathbf{S}_1$; démontrer que $\mathbf{R}^2-$ S possède exactement deux composantes connexes et que leur frontière est égale à S (théorème de Jordan).