Bài tập 17, § 5

Ta đồng nhất $\mathbf{S}_1$ với tập hợp các số phức có môđun bằng 1, và mặt cầu $\mathbf{S}_3$ với không gian con của $\mathbf{C}^2$ tạo bởi các điểm $(z, w)$ sao cho $|z|^2+|w|^2= 1$. Gọi B và C là các không gian con của $\mathbf{S}_3$ được xác định lần lượt bởi $|z|\leqslant |w|$ và $|z|\geqslant |w|$.

(a) Chứng minh rằng B và C đẳng phôi với $\mathbf{B}_2\times \mathbf{S}_1$.

(b) Với mọi cặp $(m, n)$ các số nguyên nguyên tố cùng nhau, gọi $K_{m,n}$ là ảnh của ánh xạ từ $\mathbf{S}_1$ vào $\mathbf{S}_3$ cho bởi $u\mapsto (u^m, u^n)$ (“nút xuyến”).

(c) Chứng minh rằng $\mathbf{S}_3-K_{m,n}$ là liên thông và nhóm cơ bản của nó có trình bày $\langle x, y;x^m=y^n\rangle$.

(d) Chứng minh rằng tồn tại một đẳng phôi $\varphi$ của $\mathbf{S}_3$ lên chính nó sao cho $\varphi (K_{m,n}) = K_{1,0}$ khi và chỉ khi $|m|\leqslant 1$ hoặc $|n|\leqslant 1$.