Exercice 17, § 5

On identifie $\mathbf{S}_1$ à l’ensemble des nombres complexes de module 1, et la sphère $\mathbf{S}_3$ au sous-espace de $\mathbf{C}^2$ formé des points $(z, w)$ tels que $|z|^2+|w|^2= 1$. Soient B et C les sous-espaces de $\mathbf{S}_3$ définis par $|z|\leqslant |w|$ et $|z|\geqslant |w|$ respectivement.

a) Démontrer que B et C sont homéomorphes à $\mathbf{B}_2\times \mathbf{S}_1$.

b) Pour tout couple $(m, n)$ d’entiers relatifs premiers entre eux, on note $K_{m,n}$ l’image de l’application de $\mathbf{S}_1$ dans $\mathbf{S}_3$ donnée par $u\mapsto (u^m, u^n)$ (« nœud torique »).

c) Démontrer que $\mathbf{S}_3-K_{m,n}$ est connexe et que son groupe fondamental admet une présentation $\langle x, y;x^m=y^n\rangle$.

d) Démontrer qu’il existe un homéomorphisme $\varphi$ de $\mathbf{S}_3$ dans lui-même tel que $\varphi (K_{m,n}) = K_{1,0}$ si et seulement si $|m|\leqslant 1$ ou $|n|\leqslant 1$.