Bài tập 18, § 5

Cho $(m, n)$ là một cặp số nguyên tự nhiên sao cho $1< m < n$. Cho G là nhóm được xác định bởi phép trình bày $\langle x, y;x^m=y^n\rangle$. Đặt $z=x^m$ và cho C là nhóm con của G sinh bởi $z$.

a) Chứng minh rằng C được chứa trong tâm của G.

b) Chứng minh rằng $G/C$ là đẳng cấu với tích tự do $(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z})*(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})$.

c) Suy ra rằng C là tâm của G.

d) Cho $(p, q)$ là một cặp số nguyên tự nhiên sao cho $1< p < q$. Giả sử rằng nhóm $G'$ được xác định bởi phép trình bày $\langle x, y;x^p=y^q\}$ là đẳng cấu với G. Chứng minh rằng $(p, q) = (m, n)$.

e) Chứng minh rằng thương của G bởi nhóm dẫn xuất của nó là đẳng cấu với $\mathbf{Z}$.