Exercice 18, § 5

Soit $(m, n)$ un couple d’entiers naturels tels que $1< m < n$. Soit G le groupe défini par la présentation $\langle x, y;x^m=y^n\rangle$. Soit $z=x^m$ et soit C le sous-groupe de G engendré par $z$.

a) Démontrer que C est contenu dans le centre de G.

b) Démontrer que $G/C$ est isomorphe au produit libre $(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z})*(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})$.

c) En déduire que C est le centre de G.

d) Soit $(p, q)$ un couple d’entiers naturels tels que $1< p < q$. On suppose que le groupe $G'$ défini par la présentation $\langle x, y;x^p=y^q\}$ est isomorphe à G. Démontrer que $(p, q) = (m, n)$.

e) Démontrer que le quotient de G par son groupe dérivé est isomorphe à $\mathbf{Z}$.