Bài tập 19, § 5

Cho G là một đồ thị; ký hiệu S là tập hợp các đỉnh của nó, A là tập hợp các cạnh có hướng của nó và $|G|$ là hiện thực hình học của nó. Ký hiệu $j: S\rightarrow |G|$ và $p:\mathbf{I}\times A\rightarrow |G|$ là các ánh xạ chính tắc. Giả sử rằng các tập hợp S và A là hữu hạn.

Ta nói rằng một ánh xạ $f:|G| \rightarrow \mathbf{R}^n$ là affine (tương ứng, affine từng mảnh) nếu, với mọi cạnh $a\in A$, ánh xạ $t\mapsto f\circ p(a, t)$ là affine (tương ứng, affine từng mảnh). (Xem III, p. 331, bài tập 6.)

(a) Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ đơn ánh và affine từng mảnh của $|G|$ vào $\mathbf{R}^3$. (Bắt đầu bằng việc chứng minh rằng tồn tại một số nguyên $n\geqslant 1$ và một ánh xạ đơn ánh và affine từng mảnh của $|G|$ vào $\mathbf{R}^n.$) (b) Với mọi ánh xạ liên tục đơn ánh $f:|G| \rightarrow \mathbf{R}^n$, chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ liên tục đơn ánh $g:|G| \rightarrow \mathbf{R}^n$ là affine từng mảnh và đồng luân với $f$.

(c) Giả sử rằng ánh xạ $(o, t): A\rightarrow S\times S$ là đơn ánh. Cho $f$ là một ánh xạ đơn ánh từ S vào $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ affine duy nhất F từ $|G|$ vào $\mathbf{R}^3$ ánh xạ mọi đỉnh $s\in S$ lên điểm $(f(s), f(s)^2, f(s)^3)$ của $\mathbf{R}^3$. Chứng minh rằng F là đơn ánh.

Ta nói rằng đồ thị G là phẳng nếu tồn tại một ánh xạ liên tục đơn ánh của $|G|$ vào $\mathbf{R}^2$.

(d) Giả sử rằng đồ thị G là phẳng và ánh xạ $(o, t): A\rightarrow$ $S\times S$ là đơn ánh. Cho $f:|G| \rightarrow \mathbf{R}^2$ là một ánh xạ liên tục đơn ánh. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ affine đơn ánh $g:|G| \rightarrow \mathbf{R}^2$ đồng luân với $f$.