Exercice 19, § 5

Soit G un graphe ; notons S l’ensemble de ses sommets, A celui de ses arêtes orientées et $|G|$ sa réalisation géométrique. Notons $j: S\rightarrow |G|$ et $p:\mathbf{I}\times A\rightarrow |G|$ les applications canoniques. On suppose que les ensembles S et A sont finis.

On dit qu’une application $f:|G| \rightarrow \mathbf{R}^n$ est affine (resp. affine par morceaux) si pour toute arête $a\in A$, l’application $t\mapsto f\circ p(a, t)$ est affine (resp. affine par morceaux). (Cf. III, p. 331, exerc. 6.)

a) Démontrer qu’il existe une application injective et affine par morceaux de $|G|$ dans $\mathbf{R}^3$. (Commencer par démontrer qu’il existe un entier $n\geqslant 1$ et une application injective et affine par morceaux de $|G|$ dans $\mathbf{R}^n.$) b) Pour toute application continue injective $f:|G| \rightarrow \mathbf{R}^n$, démontrer qu’il existe une application continue injective $g:|G| \rightarrow \mathbf{R}^n$ qui est affine par morceaux et homotope à $f$.

c) On suppose que l’application $(o, t): A\rightarrow S\times S$ est injective. Soit $f$ une application injective de S dans $\mathbf{R}$. Démontrer qu’il existe une unique application affine F de $|G|$ dans $\mathbf{R}^3$ qui applique tout sommet $s\in S$ sur le point $(f(s), f(s)^2, f(s)^3)$ de $\mathbf{R}^3$. Démontrer que F est injective.

On dit que le graphe G est planaire s’il existe une application continue injective de $|G|$ dans $\mathbf{R}^2$.

d) On suppose que le graphe G est planaire et que l’application $(o, t): A\rightarrow$ $S\times S$ est injective. Soit $f:|G| \rightarrow \mathbf{R}^2$ une application continue injective. Démontrer qu’il existe une application affine injective $g:|G| \rightarrow \mathbf{R}^2$ qui est homotope à $f$.